Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 19-24

19. Дискретное во времени преобразование Фурье, его применение в ЦОС.

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в еѐ дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свѐртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свѐртками.

DTFT имеет вид:

( ) ∑

⁄∫ ( )

Легко проверить, что ( ) – непрерывная 2π-периодическая функция, т.к.

.

20. Нерекурсивные цифровые фильтры: типы КИХ фильтров

В зависимости от вида разностного уравнения, описывающего работу цифрового фильтра, последние делятся на рекурсивные и нерекурсивные.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечную дискрет-ную последовательность. Нерекурсивный фильтр всегда является КИХфильтром.

Передаточная ф-я нерекурсивного ЦФ получается в результате применения прямого Z-преобразования к разностному уравнению (к-ты ПФ (разностного урав-нения) и

отсчѐты ИХ нерекурсивного ЦФ совпадают):

•Фильтры «скользящего типа»

•Полюс при z=0 (стабильная структура)

•N нулей (нули B(z)), дает фильтры «все нули»

•Разностное уравнение (разностное уравнение и уравнение свертки совпадают):

Структурная схема нерекурсивного ЦФ:

ЧХ фильтра скользящего среднего:

Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ, их классификация: Тип1

N=2L=четное

Симметричная импульсная характеристика: h[k]=h[N-k]

Типы фильтров: НЧ/ВЧ/ПФ

Тип2

N=2L+1=нечетное

Симметричная импульсная характеристика : h[k]=h[N-k]

Типы фильтров: НЧ/ПФ

Тип3

N = 2L = четное, отрицательная симметрия

антисимметричная импульсная характеристика: h[k] = – h[N – k]

Типы фильтров: ПФ

Тип4

N = 2L+1 = нечетное, отрицательная симметрия антисимметричная импульсная характеристика: h[k] = – h[N – k]

Типы фильтров: ВЧ Изменение ИХ путем модуляции последовательностью 1,-1,1,-1,.. Тип-2 дает Тип-4 (НЧ -> ВЧ)

Тип-4 дает Тип-2 (ВЧ -> НЧ) Тип-1 дает Тип-1 (НЧ <-> ВЧ) Тип-3 дает Тип-3 (ПФ <-> ПФ)

Выводы: фильтры 1 универсальны; фильтры 3 и 4 часто исп-ся при проектировании дифференциаторов и фильтров, реализующих преобр-е Гильберта, т.к. они могут давать сдвиг фазы на 90 град.

Вобщем: Нерекурсивные цифровые фильтры используются и в тех случаях, когда предъявляемые требования не могут быть реализованы при помощи фильтров Баттерворта и Чебышева, например для выполнения дифференцирования и интегрирования сигналов.

Вотличие от рекурсивных фильтров нерекурсивные фильтры не могут аппрокси-мировать АЧХ с крутыми переходами. Тем не менее нерекурсивные фильтры очень популярны из-за легкости проектирования, линейной ФЧХ и гарантированной устойчивости.

21. Дискретизация и восстановление сигнала Дискретный сигнал- последовательность чисел бесконечной разрядности– последовательность x[nTд] = x[n],

где nTд – дискретное время;Tд – период дискретизации;n = nTд/ Tд – дискретное нормированное время

ПЧ-промежуточная частота Переход от непрерывного сигнала к дискретному осуществляется с потерей

информации. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям и устранение потерь информации зависит от параметров дискретизации - т.е. шага дискретизации, способа восстановления сигнала и от свойств сигнала.

Условие, при котором возможно восстановление сигнала без потерь, определяется из теоремы Котельникова. Прямая формулировка теоремы Котельникова. Если функция f(x)имеет ограниченный спектр, локализованный в диапазоне –fmax≤f≤ fmax, то она полностью определена путем задания отсчетов на наборе точек, отстоящих

друг от друга на расстоянии1/2 fmax.

Теорема Котельникова (как давал саломатин): пусть

1.спектр сигнала x(t)не содержит частот выше F,т.е.X(v)=0 за пределами отрезка[-F;F]

2. Дискретизация сигнала x(t) производится с частотой Fs,т.е. в моменты времени nTд, здесь Тд=Fs-1.

3. Fs≥2F

Тогда исходный анал. сигнал x(t) можно точно восстановить из его цифровых отсчетов x(nTд), пользуясь интерполяционной формулой:

∑

X(v)

22. Алгоритмы вычислений дискретных корреляционных функций

1. Свертка временных последовательностей равна преобразованию Уолша-Адамара от произведения спектров сворачиваемых последовательностей (теорема о свертке). Отсюда следует, что корреляционная функция может быть вычислена при помощи двойного преобразования Уолша-Адамара:

( ) ( )

X,Y-сворачиваемые последовательности, Bx,By-спектры этих посл-ей, H-матрица Адамара,N-порядок матрицы.

2. Циклическая (периодическая) корреляционная функция двух последовательностей равна: ∑ Корреляционная последовательность может быть выражена через оператор свертки,

если перед вычислением одна из последовательностей будет прочитана в обратном порядке, за исключением нулевого отсчета.

Таким образом, эффективные алгоритмы вычисления свертки распространяются и на эффективные алгоритмы вычисления корреляции. Отсюда следует, что структурные схемы процессоров, вычисляющих свертку или корреляцию, не должны иметь принципиальных различий.

23.Дискретное преобразование Фурье:схемы и графы практической реализации

Переменную k отождествляют с номером функции, а переменную n – с номером

F3

Фурье-преобразование- многоканальная корреляция между функцией ДЭФ и

def (k,n)

24. Цифровой фильтр: дифференцирующий фильтр.

Из выражения для производной d( exp( j w t ) )/dt = jw exp( j w t ) следует, что при расчете фильтра производной массива данных, необходимо аппроксимировать передаточную функцию вида H(w) = j w рядом Фурье.

Т.к. коэффициенты такого фильтра будут обладать нечетной симметрией (h n = hn) и выполняется равенство hn [exp(j w n) exp( jwn)]=2jhnsin nw, то передаточная х-ка фильтра имеет вид: H(w) = 2 j (h1 sin w + h2 sin 2w + ... + hN sin Nw), т.е. является мнимой нечетной, a сам фильтр является линейной комбинацией разностей симметрично расположенных относительно значений функции.

Идеальная ИХ: h[n] =(cos[ (n – L/2)])/(n – L/2) – (sin[ (n – L/2)])/ (n – L/2)2

Пример. Дифференцированию подлежит низкочастотный сигнал. Высокие частоты в массиве данных представлены помехами. Передаточная функция фильтра вида:

H(w) = w, w wв, H(w) = 0, wв< w wN.

n = 0,1,2,...

Принимая wN = p(Dt = 1) и решая ур-ние при H(w) = w, получаем: hn = (1/p)[sin(nwв)/n2 wв cos(nwв)/n], hо = 0, h n = hn.

Характеристики дифф. фильтра(Ось абсцисс:1рис.-к-ты оператора фильтра,2- частотные ф-ии фильтров):