Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 11

11. Циклический и диадный сдвиги, циклическая и диадная свертки: определение, методы представления и вычислений

Циклическая свертка периодических последовательностей длины N определяется выражением

При этом справедливы следующие соотношения: x[-n]=x[N-n] и h[-n]=h[N-n]. В матричном виде циклическая свертка записывается следующим образом:

Например для x [x[0], x[1], x[2], x[3]]T , h [h[0],h[1],h[2],h[3]]T

Согласно теореме о свертке, циклическая свертка может быть вычислена через дискретные преобразования Фурье:

сдвига заключается в перестановке отсчетов исходной функции. В частности, на место x становится отсчет форм xτ.

Пример: S(x) = [0 0 1 1 1 1 0 0 ]. Осуществим диадный сдвиг , т.е. S(xτ) при τ =4, τ − величина диадного сдвига. Пронумеруем все выборки исходного сигнала двоичными числами 0,1,2…N-1:

Произведем диадный сдвиг выборок сигнала x0τ= 000 100=100→x4

x1τ= 001 100=101→x5

x2τ= 010 100=110→x6

x3τ= 011 100=111→x7

x4τ= 100 100=000→x0

x5 τ= 101 100=001→x1

x6 τ= 110 100=010→x2

x7 τ= 111 100=011→x3

Это эквивалентно следующей перестановке отсчетов сигнала:

Понятие диадного сдвига позволяет обобщить понятие свертки и корреляционной функции. Так как суммирование и вычитание по модулю два совпадают, то диадная свертка совпадает с диадной корреляцией и определяется следующим выражением:

( ) ( ) ∑ ( ) ( )

Можно доказать, что

1.Спектр функции S(x) инвариантен относительно диадного сдвига аргумента.

2. Свертка временных последовательностей равна преобразованию Уолша-Адамара от произведения спектров сворачиваемых последовательностей (теорема о свертке). Отсюда следует, что корреляционная функция может быть вычислена при помощи двойного преобразования Уолша-Адамара: