Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 25-30

25.Циклическая свертка: определение, методы представления и вычислений

Свѐртка - базовая операция в ЦОС. В процессе кодирования - декодирования сигналов с использованием конечных полей приходится неоднократно вычислять произведение двух векторов (полиномов), которое принято называть свѐрткой.

Понятие круговой свѐртки используется только для периодических последовательностей. Циклическая свертка периодических последовательностей длины N определяется выражением (1):

При этом справедливы следующие соотношения: x[-n]=x[N-n] и h[-n]=h[N-n]. В матричном виде циклическая свертка записывается следующим образом:

Найдѐм ДПФ круговой свѐртки Y(k), если ДПФ посл-тей x1(nT) и x2(nT) соответственно равны

X1(k) и X2(k):

Заметим,что периодическая посл-ть x3(nT), равная произведению периодических посл-тей x1(nT) и x2(nT) имеет ДПФ:

( ) ∑ ( ) ( )

Циклическую свертку можно вычислить

26.Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование:

свойства Z-преобразования

Дискретным преобразованием Лапласа называется след.ряд:

При исследовании дискретных сигналов и линейных систем, как правило, вместо преобр-я Лапласа используют Z- преобразование, которое получается из дискретного преобр-я Лапласа в результате замены переменных

,

где p- оператор Лапласа: p=

Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:в алгебраической z=c+jd

в показательной z=r·ejφ,

где радиус r является модулем, а угол φ- аргументом переменной z

Основные свойства z-преобразования

Одним из важнейших св-в Z- преобразования является св-во его единственности, в соответствии с которым посл-ть x(nT) однозначно определяется z-изображением X(z) в области его сходимости и наоборот, z- изображение X(z) однозначно определяет посл-ть x(nT).

1. Линейность

то еѐ z- изображение равно линейной комбинации z- изображений данных посл-тей:

2. Z-преобразование задержанной посл-ти (теорема о задержке).

Z- преобр-е посл-ти x[(n-m)T], задержанной на m (m>0) отсчѐтов, равно z- изображению незадержанной посл-ти x(nT), умноженному на z-m:

3. Z- преобразование свёртки посл-тей (теорема о свёртке).

Коррелограммный метод оценки СПМ.

Известно, что корреляционная функция и СПМ связаны между собой преобразованием Фурье:

где r[m] – автокорреляционная функция сигнала x[n]: r[m]=M{x[n]x*[n+m]} Коррелограммный метод оценивания СПМ – это использование в (2а) оценки

автокорреляционной функции конечной длины вместо бесконечной последовательности неизвестных истинных значений автокорреляции. Оценка автокорреляционной функции

обозначается как ̂, - (несмещенная оценка автокорреляции на интервале ±L). Оценка СПМ для ̂, - имеет вид:

при этом оценка ̂, - вычисляется как:

Максимальный индекс временного сдвига L , как правило, много меньше числа отсчетов данных N (L≈N/10).

Для формирования обратной матрицы необходимо прочесть в обратном порядке элементы WNkn с отличными от нуля степенями (kn 0) строк матрицы FN .

7.Мультипликативность

def (k1, n)def (k2, n) def (k1 k2, n) ; def (k, n1)def (k, n2 ) def (k, n1 n2 ) .

При умножении любых двух строк (столбцов) матрицы ДЭФ получается строка (столбец) той же матрицы. Номер строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

8. Факторизуемость. Для любого N, разложимого в произведение отличных от 1 чисел N1 и N2, матрица функций ДЭФ порядка N представима в виде

FN PN2 N1 (I N1 FN2 )DN1N2 (FN1 I N2 )

или в виде

FN (FN1 I N2 )DN1N2 (I N1 FN2 )PN1N2 ,

где PN1 N2 и PN2 N1 - матрицы перестановок, отвечающие транспонированию прямоугольных матриц соответственно размеров (N1 N2) и (N2 N1); DN2 N1 - диагональная

матрица, образованная последовательностью поворачивающих множителей

WN0 0,WN1 0,...,WN( N2 1) 0,WN0 1,WN11,...,WN( N2 1) 1,...

...,WN0 ( N1 1) ,...,WN( N2 1) ( N1 1)

компонент еѐ ДПФ, размещению их с шагом M и дополнением остальных позиций спектра нулями:

Отсюда можно получить выражение для спектра децимированной последовательности

где (PQ)mod N 1. Эта теорема является аналогом теоремы о масштабах интегрального

преобразования Фурье. Но если изменение масштаба сигнала, например, растяжение сигнала по координате в P раз, приводит к сжатию его спектра Фурье в P раз, то для дискретных последовательностей и их ДПФ это соответствует перестановкам элементов последовательностей.

8.Линейность. Пусть даны две последовательности x1[n] и x2[n], для которых ДПФ равны соответственно X1(k) и X 2 (k) . Спектр взвешенной суммы последовательностей a x1[n] + b x2[n]= x3[n] равен аналогичной взвешенной сумме спектров:

9. Теорема о свертке. Спектр свертки двух последовательностей {x[n]} и {h[n]} равен произведению спектров X (k) и H (k) сворачиваемых последовательностей:

Теорема позволяет вычислить циклическую свертку y[l] при помощи ДПФ по формуле {y[l]} = ДПФ-1(ДПФ{x[n]} ДПФ{h[n]}).

10.ДПФ вещественной последовательности. Пусть {x[n]} – вещественная последовательность. ДПФ такой последовательности имеет следующие особенности:

Спектральные коэффициенты комплексно сопряжены относительно N/2

Если x[n] – четная последовательность, т.е. x[n]=x[-n], то спектр ДПФ {X(k)} также представляет собой вещественную последовательность.

Если x[n] – нечетная последовательность, т.е. x[n]=-x[-n], то {X(k)} представляет собой чисто мнимую последовательность.

Данное свойство позволяет при помощи одного преобразования вычислить ДПФ двух действительных последовательностей, либо использовать N/2 –точечное преобразование для вычисления спектра N точечной последовательности.