Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 55
.pdf55.Двумерное преобразование Фурье и преобразование Фурье по смешанному основанию: определение, процедура вычисления, применение
Двумерное преобразование Фурье
N2 1N1 1 |
|
|
X (k1, k2 ) x[n1, n2 |
]WNn1k1WNn2k2 |
|
n2 0 n1 0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
•x[n1, n2] – двумерный массив
•X(k1, k2) – двумерный массив
• |
WNn1k1WNn2k2 - фазовый множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
обратное, двумерное ДПФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N1 |
N2 |
|
|
|
|
x[n1, n2 ] |
|
WN n1k1WN n2k2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
N1N2 k1 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
k2 0 |
|
||||
|
|
БПФ по смешанному основанию |
|||||||
|
ДПФ последовательности x[n];n 0,..., N 1 , N = N1 N2 запишется в виде |
||||||||
|
|
|
|
N |
N |
1 |
x[n]W nk |
|
|
|
|
X (k) |
1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
n 0 |
N . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Представим входные n и выходные k индексы в смешанной системе счисления с основаниями |
||||||||
N1 N2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2N1 n1; k k1N2 k2 , |
где n1, k1 0,..., N1 1, |
n2, k2 0,..., N2 1. |
||||||
Последовательности входных и выходных отсчетов преобразуются в двумерные массивы:
d[n1, n2 ] x[n2N1 n1] , n1 0,..., N1, n2 0,.., N2 1;
D(k1, k2 ) X (k1N2 k2 ) , k1 0,..., N1, k2 0,.., N2 1.
После подстановки алгоритм ДПФ представляется в виде
|
|
N1 1 N2 |
1 |
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
D(k1, k2 ) |
|
|
d[n1, n2 ]exp( |
(k1N2 k2 )(n2N1 n1)) |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
n1 0 n2 0 |
|
|
N1N2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
N1 1 |
|
j2 |
|
|
N2 1 |
|
|
]exp( j2 k |
|
|
|
|
|
|||
|
exp( |
|
k |
n ) |
d[n , n |
|
|
n |
|
) exp( |
|||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
N1N2 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
N2 |
|
|
|
||||
|
n1 0 |
|
|
|
n2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(53)
j2
N1 k1n1)
Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Алгоритм преобразования может быть представлен следующей трехэтапной схемой.
1. Для всех строк матрицы [d[n1, n2 ]] вычисляются N2 точечные ДПФ.
W n1k2
2. Каждый элемент полученной матрицы умножается на фазовый множитель N .
3.Для всех столбцов матрицы, полученной на втором этапе, вычисляются N1 точечные ДПФ.
Заметим, что алгоритм имеет инверсный порядок следования индексов в выходной последовательности. Это объясняется инверсией разрядов в позиционно-численном
представлении индексов по смешанному основанию. Для сохранения естественного порядка следования отсчетов необходимо выполнить операцию обратной перестановки.
Вычислительные затраты при таком способе вычисления ДПФ равны: количество операций умножения равно N (N1 N2 1) ; сложений N (N1 N2 2) .
Если числа N1 и N2 являются составными, то алгоритм БПФ применяется рекурсивно. При этом на каждом шаге рекурсии БПФ сокращает число операций.