Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 13
.pdf
13 Теорема о полиномиальном сканировании и интерполяционная формула Лагранжа
Т. о полиномиальном сканировании сформулировал и доказал Аветисян Д.
В отличие от теоремы отсчетов, которая оперирует частотными характеристиками функции, теорема о полиномиальном сканировании оперирует временными характеристиками этой функции, и потому эти две теоремы оказываются дополняющими друг друга.
•Оперирует временными характеристиками функции
•Дополняет теорему отсчетов(теорему Котельникова)
Пусть f(t) – бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси функция и существует такое
λ=T |
0 |
/2>0, что : lim |
1 |
|
|
λ |
0 |
suр f p |
(τ)=0 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p→∞ √ p |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда при любом (0<T ≤T 0) |
для любого фиксированного знаения t справедливо |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
k |
|
|
k |
|
|
t−iT |
|
|
|||
f (t)=lim |
∑ f [nT ] ∏ |
|
|
||||||||||||
2k |
|
|
|||||||||||||
|
|
k →∞ |
T |
n=−k |
i=−k |
(n−iT ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i≠n |
|
|
|
|
|||
Формула Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (t)=∑ f (tn)∏ |
t−t j |
|
|
+ Rm (t ), где |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n=0 |
|
j=0 (tn−t j ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
j≠n
t=t j− узлы интерполяции Rm−функция ошибки
Интерполяционная формула Лагранжа:
Позволяет построить многочлен степени m, интерполирующий заданную функцию f(t) в (m + 1) узлах интерполяции t = ti (i = 0, 1, …, m)
Rm(t) = 0 при всех t = ti (i = 0, 1, …, m)
(Это значит что и точек мы получаем функцию которая проходит через все эти точки)
Выбираем в качестве узлов интерполяции 2k + 1 точки t = 0, ±T, ±2T, …