Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 9
.pdf
9.Линейная свертка: определение, методы представления и вычислений
Операция линейной свертки двух |
последовательностей |
{x[k];k 0,1,...M 1} и |
|
{h[k];k 0,1,...,L 1} определяется соотношением |
|
||
|
L M 2 |
|
|
y[m] |
x[i]h[m i], |
m 0,1,...,L M 2 |
(1) |
i0
Вматричном виде линейная свертка записывается следующим образом (для L=M=N):
|
y[0] |
|
|
|
y[1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y[2] |
|
|
|
y[3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... |
|
|
|
y[N 1] |
|
|
|
|
|
|
|
y[N ] |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
y[2N 2] |
|
||
|
|
|
|
|
h[0] |
0 |
0 |
... |
|
|
h[1] |
h[0] |
0 |
... |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
|
h[2] |
h[1] |
h[0] |
... |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
h[N 1] |
h[N 2] |
h[N 3] |
... |
||
|
0 |
h[N 1] |
h[N 2] |
... |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
... |
... |
... |
... |
||
|
0 |
0 |
0 |
h[N 1] |
|
|
|||||
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
0 |
|
|
|
x[0] |
|
|
0 |
|
|
|
x[1] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
x[2] |
|
|
... |
|
|
|
x[3] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
h[0] |
|
|
|
x[4] |
|
|
h[1] |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
... |
|
|
x[N 3] |
|||
|
|
|
|
|
|
|
h[N |
2] |
x[N |
2] |
|||
h[N |
1] |
|
|
|
1] |
|
|
x[N |
|
||||
Например, пусть N=4, тогда x [x[0], x[1], x[2], x[3]]T , h [h[0],h[1],h[2],h[3]]T .
Физической моделью линейной свертки является цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой.
Соотношение (1) имеет большое значение, поскольку позволяет осуществлять фильтрацию, линейную обработку сигналов и моделировать линейные системы. Применительно к этим задачам x[k] и y[m] рассматриваются как входной и выходной
сигналы системы (апериодическиие последовательности), а h[k]- как ее импульсная характеристика. Пример такой свертки дает нерекурсивный или трансверсальный фильтр.
Вычисление линейной свертки через циклическую. Для вычисления линейной свертки двух последовательностей длины N1 и N2 можно воспользоваться алгоритмом вычисления циклической свертки, но при этом исходные данные последовательности следует дополнить нулевыми отсчетами так, чтобы их длина стала равной (N1 + N2 - 1), и рассматривать их как
периодические. Например: пусть свертываемые |
последовательности |
имеют |
вид |
x [x[0], x[1], x[2], x[3]]T и h [h[0],h[1],h[2],h[3]]T , |
L=M=N=4, дополним |
их нулями |
до |
длины L+M-1=7 и вычислим циклическую свертку |
|
|
|
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
|
h[2] |
h[3] |
0 |
0 |
0 |
h[0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
h[3] |
0 |
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
|
|
0 |
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
|
0 |
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
|
||||||
|
0 |
h[0] |
h[1] |
h[2] |
h[3] |
0 |
|
||||||
0 |
|
x[0] |
|
h[0]x[0] |
|
||
h[0] |
|
0 |
|
|
h[1]x[0] h[0]x[1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[1] |
|
|
0 |
|
|
h[2]x[0] h[1]x[1] h[0]x[2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[2] |
|
0 |
|
h[3]x[0] h[2]x[1] h[1]x[2] h[0]x[3] |
|||
h[3] |
x[3] |
|
h[3]x[1] h[2]x[2] h[1]x[3] |
|
|||
|
|
|
|
|
|
h[3]x[2] h[2]x[3] |
|
0 |
|
x[2] |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
h[3]x[3] |
|
|
x[1] |
|
|
|
|||