
Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / pdf / 39
.pdf
39. Вычисление быстрого преобразования Фурье с помощью ЛЧМ-Z преобразования
Рассмотрим выражение |
|
|
|
N 1 |
|
X (k) |
f [n]W nk , |
k 0,...,N -1 . |
n0 N
Преобразуем произведение входных и выходных индексов поворачивающего множителя следующим образом
Подставим полученное в выражение в формулу для ДПФ
В полученном выражении сумма может быть вычислена через операцию свертки
Соответственно выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид
Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b1,b2; последнее можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.
Алгоритм
Задача. Вычисление N –точечного ДПФ свертку Вход: N отсчетов сигнала { f[n]; n = 0,1,…, N –1}.
Выход: N –коэффициентов {F(k), k = 0,1,…, N - 1} ДПФ сигнала f[n].
1.Выбираем NF 2N -1. Для БПФ NF = 2m
2.Формируем множество {y[n]; n= 0,1,…, NF –1}

3.Вычисляется БПФ от {y[n]}
4.Формируется множество {x[n]; n = 0,1,…, NF –1}
5.Вычисляется БПФ от {x[n]}
6.Производится покомпонентное умножение коэффициентов БПФ
7.Вычисляется обратное БПФ от V(k`), k` = 0,1,… NF –1.
8.Выделяются первые N элементов множества { С[k`]}, которые умножаются на весовой коэффициент