Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / doc / 58

58.Вычисление дискретного преобразования Фурье на основе алгоритмов свертки и корреляции.

ДПФ – оператор корреляции

• Воспользуемся тождеством

• Выражение для ДПФ после подстановки

• a примитивный элемент циклической группы

• a º W = exp(–j 2 p / N)

Алгоритм ЛЧМ-Z преобразования

• Алгоритм позволяет эффективно вычислить Z-преобразование последовательности {x[n]}.

• Пусть N-точечная последовательность {x[n]} имеет образ Z-преобразования

• По определению ДПФ заданной последовательности связано с Z-преобразованием выражением

• Зададим контур преобразования общего вида

• где M-произвольное целое число (необязательно равное N), а A и W – произвольные комплексные числа.

• Обозначим через X_k искомые значения Z-преобразования при z = z_k

• Подстановка в эту формулу выражения для произведения nk дает

Формула свертки

• где

Алгоритм ЛЧМ-Z

• Задача. Вычисление N –точечного ДПФ через свертку

•  Вход: N отсчетов сигнала { f[n]; n = 0,1,…, N –1}.

• Выход: N –коэффициентов {F(k), k = 0,1,…, N– 1}

• ДПФ сигнала f[n].

Алгоритм

• Выбираем N_F ³ 2N – 1. Для БПФ N_F = 2^m

• Формируем множество {y[n]; n = 0,1,…, N_F –1}

•  y[0] =1; для n = 1,2,…, N – 1; N_F –N,…, N_F –1

• в остальных случаях y[n] =0.

• Вычисляется БПФ от {y[n]} Y(k`) = БПФ{y[n]}; k` = 0,1,… N_F –1.

•  Формируется множество {x[n]; n = 0,1,…, N_F –1} для n = 0,…,N – 1

• для n = N,…, N_F –1 x[n] = 0.

• Вычисляется БПФ от {x[n]}

•  

• X(k`) = БПФ{x[n]}; k` = 0,1,… N_F –1.

•  

• Производится покомпонентное умножение коэффициентов БПФ

•  

• V(k`) = Y(k`) × X(k`);

• k` = 0,1,… N_F –1.

• Вычисляется обратное БПФ от V(k`),

• k` = 0,1,… N_F –1.

•  

• С[k`] = БПФ{ V(k`)}.

• Выделяются первые N элементов множества { С[k`]}, которые умножаются на весовой коэффициент