Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / doc / 55

55.Двумерное преобразование Фурье и преобразование Фурье по смешанному основанию: определение, процедура вычисления, применение

Двумерное преобразование Фурье

• x[n₁, n₂] – двумерный массив

• X(k₁, k₂) – двумерный массив

• - фазовый множитель

обратное, двумерное ДПФ

БПФ по смешанному основанию

ДПФ последовательности, N = N₁ N₂ запишется в виде

.

Представим входные n и выходные k индексы в смешанной системе счисления с основаниями N₁ N₂:

; , где , .

Последовательности входных и выходных отсчетов преобразуются в двумерные массивы:

,, ;

,, .

После подстановки алгоритм ДПФ представляется в виде

(53)

Таким образом, исходное ДПФ оказалось сведенным к двум ДПФ, производимым над уменьшенными массивами. Алгоритм преобразования может быть представлен следующей трехэтапной схемой.

1. Для всех строк матрицы вычисляются N₂ точечные ДПФ.

2. Каждый элемент полученной матрицы умножается на фазовый множитель .

3. Для всех столбцов матрицы, полученной на втором этапе, вычисляются N₁ точечные ДПФ.

Заметим, что алгоритм имеет инверсный порядок следования индексов в выходной последовательности. Это объясняется инверсией разрядов в позиционно-численном представлении индексов по смешанному основанию. Для сохранения естественного порядка следования отсчетов необходимо выполнить операцию обратной перестановки.

Вычислительные затраты при таком способе вычисления ДПФ равны: количество операций умножения равно ; сложений .

Если числа N₁ и N₂ являются составными, то алгоритм БПФ применяется рекурсивно. При этом на каждом шаге рекурсии БПФ сокращает число операций.