Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / doc / 39

39 Вычисление быстрого преобразования Фурье с помощью ЛЧМ-Z преобразования

Пусть выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид

. (73)

Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b₁,b₂. Данную операцию можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.

Часто такой алгоритм называют алгоритмом ЛЧМ-Z преобразования, подразумевая, что с его помощью можно эффективно вычислить Z-преобразование последовательности {x[n]}. Действительно, пусть N-точечная последовательность {x[n]} имеет образ Z-преобразования

По определению ДПФ заданной последовательности связано с Z выражением

. (74)

Зададим контур преобразования более общего вида

, (75)

где M-произвольное целое число (необязательно равное N), а A и W- произвольные комплексные числа. Обозначим через X_k искомые значения Z-преобразования при z = z_k

.

Подстановка в эту формулу выражения для произведения nk дает

или

, где . (76)

Взвешенная свертка может быть рассчитана с использованием БПФ. Основными операциями при этом являются три (иногда два) БПФ, поэтому сложность вычислений будет иметь логарифмическую зависимость.