Шпоры и задачи 2012 (Саломатин) [7171 вопросов] / scr / doc / 39_obnovlyonnyy

39. Вычисление быстрого преобразования Фурье с помощью ЛЧМ-Z преобразования

Рассмотрим выражение

.

Преобразуем произведение входных и выходных индексов поворачивающего множителя следующим образом

Подставим полученное в выражение в формулу для ДПФ

В полученном выражении сумма может быть вычислена через операцию свертки

Соответственно выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид

Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b₁,b₂; последнее можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.

Алгоритм

Задача. Вычисление N –точечного ДПФ свертку

Вход: N отсчетов сигнала { f[n]; n = 0,1,…, N –1}.

Выход: N –коэффициентов {F(k), k = 0,1,…, N - 1} ДПФ сигнала f[n].

1. Выбираем N_F  2N -1. Для БПФ N_F = 2^m

2. Формируем множество {y[n]; n= 0,1,…, N_F –1}

3. Вычисляется БПФ от {y[n]}

4. Формируется множество {x[n]; n = 0,1,…, N_F –1}

5. Вычисляется БПФ от {x[n]}

6. Производится покомпонентное умножение коэффициентов БПФ

7. Вычисляется обратное БПФ от V(k`), k` = 0,1,… N_F –1.

8. Выделяются первые N элементов множества { С[k`]}, которые умножаются на весовой коэффициент