7.3. Математическое описание процесса усталостного разрушения материала

Для оценки усталостных характеристик материалов и прогнозирования усталостной долговечности деталей необходимо построить математическую модель процесса развития повреждений материала при циклическом нагружении.

Математическое описание усталостных процессов строят на основе экспериментальных исследований механизма развития микротрещин. Проведение таких исследований стало возможно сравнительно недавно, после создания растровых электронных микроскопов и разработки соответствующих методов.

Число циклов нагружения детали до разрушения

где N₀ — число циклов на стадии образования и развития субмикроскопических трещин; N_с — число циклов, необходимое для развития трещины, приводящей к разрушению детали.

Скорость распространения трещины зависит от нагрузки, вызывающей внешние напряжения, режима нагружения, а также от начальной длины трещины.

Из линейной механики упругого разрушения известно соотношение

(7.3)

где k — интенсивность напряжений; σ — напряжения; l — половина длины трещины.

Продифференцировав это выражение, можно получить, упрощен­ное уравнение, описывающее процесс развития усталостной трещины:

(7.4)

где С и n — постоянные, характеризующие физико-механические свойства материала.

Если нагрузка циклически изменяется от 0 до σ, то выражение (7.3) примет вид . Подставив Δk в выражение (7.4), получим

Проинтегрируем последнее выражение

(7.5)

где l₀ и l_c соответственно начальная и критическая (приводящая к разрушению) длина трещины.

Из выражения (7.5) после интегрирования и ряда алгебраических преобразований можно получить

(7.6)

где р — плотность материала.

Начальная длина l₀ трещины несоизмеримо мала по сравнению с критической l_c, поэтому l₀/l_c <<1. Это позволяет значительно упростить выражение (7.6)

Из последнего выражения легко определить число циклов нагружения детали до усталостного разрушения материала

По теории дислокаций для образования транскристаллической трещины необходимо, чтобы критическое нормальное напряжение удовлетворяло условию

где W— поверхностная энергия пластической деформации, связанная с возникновением трещины в соседнем зерне, Дж/см²; D — средний диаметр зерна, см.

Нормальные растягивающие напряжения σ, возникающие в материале при нагружении, связаны с касательными напряжениями, вызывающими образование полосы скольжения дислокаций, через постоянную β, которая зависит от распределения напряжений: σ = βτ.

Переход материала от пластического деформирования к хрупкому разрушению происходит при условии

Минимальное нормальное напряжение, при котором возникает граничное проскальзывание зерен и образование субмикротрещин,

где G — модуль упругости второго рода, Па.

Графической интерпретацией математического описания процесса усталостного разрушения материала являются кривые уста­лости. Их строят по результатам лабораторных испытаний большого числа образцов. Широко известна кривая усталости Велера (см. рис. 7.3, кривая ABC).

При решении практических задач часто применяют кривую усталости В. Вейбулла (рис. 7.4), которая задается степенной функцией

где σ_в — предел выносливости материала; а, b и с — эмпирические коэффициенты.

Рис. 7.4. Кривая усталости по В. Вейбуллу

Начальный участок этой кривой, обращенный выпуклостью вверх, характеризует область малоцикловой усталости, возникающей при больших нормальных напряжениях. Для черных металлов кривая усталости обычно хорошо аппроксимируется более простой зависимостью . При этом, как правило, вносят поправку, понижающую верхние значения напряжения до некоторого уровня, принимаемого как абсолютный предел выносливости для данного материала.