18) Вероятностные структуры

Вероятностное пространство представляет собой тройку , где - произвольное множество, рассматриваемое как пространство элементарных (атомарных) событий, не представимых через другие события; - булеан множества (событий) , , называемое -алгеброй множеств (событий) на ; - мера, сопоставляющая каждому множеству действительное число и удовлетворяющая аксиомам неотрицательности , аддитивности , если , и полной группы событий .

Вероятность совместного осуществления двух событий и (произведение событий) определяется как .

Вероятность осуществления либо , либо (сумма событий) определяется как , если .

Условная вероятность события при условии осуществления события , , по определению равна .

Отсюда .

Справедлива формула Байеса:

.

В приложениях используют интерпретацию: - априорные вероятности событий ( ), - условная вероятность события , определенная в результате проведения опыта, - апостериорная вероятность события .

Математическая структура, построенная над вероятностным пространством, называется вероятностной структурой.

19) Нечеткие множества и операции над ними

Нечетким множеством называется совокупность элементов, для каждого из которых задана степень принадлежности к данной совокупности:

, где , - степень принадлежности элементов к множеству , .

Все понятия обычной теории множеств обобщаются и дополняются новыми понятиями в теории нечетких множеств путем интерпретаций функции принадлежности.

Если и - нечеткие множества в пространстве , то:

1. , если ;

2. , если ;

3. , если ;

4. , если .

20) Нечеткие отношения и отображения

Бинарное декартово произведение нечетких множеств и есть нечеткое множество .

Аналогичным образом определяется -арное декартово произведение нечетких множеств.

Нечеткое бинарное отношение определяется заданием в пространстве графика , .

График нечеткого -арного отношения представляется аналогичным образом.

Над нечеткими отношениями, являющимися частным случаем нечетких множеств, производятся все операции теории нечетких множеств.

Особой операцией является композиция отношений.

Композицией нечетких отношений и с графиками и называется нечеткое отношение с графиком Отображение нечетких множеств осуществляется по принципу обобщения:

.