9) Отношения толерантности и эквивалентности

Отношение толерантности дает математическое обоснование интуитивным понятиям сходства, неразличимости, а отношение эквивалентности – понятиям одинаковости, равенства.

Отношение называется отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Т.о., эквивалентность является частным случаем толерантности.

Классом толерантности (эквивалентности) называется такое множество , все элементы которого попарно толерантны (эквивалентны) и в то же время любой элемент , оказывается не толерантным (и тем более не эквивалентным) по крайней мере одному из элементов .

Множество всех классов толерантности (эквивалентности) называется фактормножеством по отношению толерантности (эквивалентности) и обозначается .

Классы толерантности могут пересекаться и образуют покрытие , классы эквивалентности не пересекаются и поэтому образуемое ими покрытие представляет собой разбиение множества .

10) Отношения порядка

Отношения порядка дают математическое обоснование понятиям меньше, больше, предшествования, старшинства, превосходства, предпочтения.

Отношение называется:

- отношением квазипорядка, если оно рефлексивно и транзитивно;

- отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично;

- отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно и транзитивно, антисимметрично.

Все перечисленные виды отношений разделяются на классы:

- частичных отношений порядка, если элементы не всех пар декартова произведения являются сравнимыми с точки зрения данного отношения;

- линейных отношений порядка, если элементы любой пары декартова произведения сравнимы по отношению порядка или равны.

Множество , на котором задан частичный (линейный) порядок, называется частично (линейно) упорядоченным.

В отношениях порядка (строгого порядка) символ отношения может иметь вид: или ( или ).

Пусть - частично упорядоченное множество, - подмножество ( ), - элемент ( ), - произвольный элемент ( ).

Если , то - называется верхней гранью (мажорантой) множества , а если , то - называется нижней гранью (минорантой) множества . Если при этом , мажоранта (миноранта) является максимумом (минимумом) множества .

11) Основные понятия теории -арных отношений

Под -арным ( -местным) отношением понимается конструкция , где - множества, на которых задается отношение как некоторый закон (совокупность правил), выделяющий подмножество - график данного отношения.

По аналогии со случаем бинарных отношений ( ) график в общем случае может рассматриваться как элемент булеана .

При отношение называется унарным (одноместным) и представляет собой просто подмножество некоторого множества, при - бинарным, при - тернарным, при - кватернарным и т.д.

Многие характеристики бинарных отношений обобщаются на отношения произвольной арности.

Проекцией графика на множество (ось) называется такое подмножество этого множества , которое включает все элементы , входящие в кортежи .

Сечением графика по некоторой последовательности элементов , принадлежащих множествам из общего числа множеств , называется множество элементов остальных множеств, образующих совместно с элементами этой последовательности кортежи, входящие в .

Важным частным случаем является сечение графика по элементам , определяемое следующим образом: . Если такое сечение содержит не более одного элемента, оно называется функциональным отношением.

Если все множества, на которых задается отношение равны , оно называется -арным отношением на множестве и обозначается .