1. Операции над множествами

Множество – объединение в единое целое определенных вполне различимых предметов (объектов), которые при этом называются элементами образуемого ими множества.

Принадлежность элемента к множеству :

Подмножество принадлежит множеству :

Если и , то множества состоят из одинаковых элементов (при этом наличие повторяющихся элементов не принимается во внимание).

Если и , то множество называется собственным подмножеством .

Конечные и бесконечные множества.

Задание конечного множества простым перечислением:

Другой способ задания как конечных, так и бесконечных множеств состоит в указании свойства , которым обладают элементы данного множества :

- пустое множество, не содержащее ни одного элемента

Булеан – множество, содержащее все подмножества , включая само множество .

Для множеств вводятся операции (булевские операции):

- объединения ,

- пересечения ,

- взятия разности .

Операция взятия симметричной разности:

Семейство множеств есть покрытие множества , если .

Семейство множеств множества является разбиением , если оно образует его покрытие ( ) и подмножества попарно не пересекаются (  ( )).

2. Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств определяется как множество таких упорядоченных -ок , что первый элемент принадлежит , второй - , … , -ый - :

Если имеет место , то декартово произведение называется -кратным и обозначается .

Геометрически множества называются осями координат -мерного пространства, а кортежи - точками этого пространства.

3. Ступень шкалы

Ступенью над базисными множествами , построенной по схеме и обозначаемой , называется такое множество , определение которого производится за шагов путем последовательного построения множеств в соответствии с заданной схемой образования (схемой конструкции) ступени – схемой .

Элементы последнего кортежа представляют собой пары , определяющие из последовательности построенных множеств по следующему правилу:

а) если и , принимается ;

б) если и , принимается ;

в) если и , принимается .

4. Мощность множеств

Множества и называются эквивалентными, или множествами одинаковой мощности , если между их элементами существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому элементу соответствует один и только один элемент и наоборот.

Конечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью натурального ряда чисел путем соответствующей перенумеровки членов данного множества.

Мощность множеств характеризуется так называемыми кардинальными числами.

Кардинальное число конечного множества, состоящего из элементов, равно .

Кардинальное число булеана данного множества, исходя из элементарных соотношений комбинаторики, определяется следующим образом .

Бесконечным множествам соответствуют бесконечные кардинальные числа.

Кардинальное число булеана натурального ряда чисел называется континуумом.

5. Проекции и сечения

Бинарным отношением называется всякое подмножество декартова произведения множеств и , на которых оно задано: .

Для того, чтобы связать отношение с содержательными правилами, по которым оно строится, рассматривается как график некоторого отношения .

Бинарным отношением называется тройка , где и - множества, на которых задается отношение как совокупность правил, выделяющих график в декартовом произведении .

Левой и правой проекциями графика на множества (оси) и называются такие подмножества и , которые включают соответственно все первые и все вторые элементы пар, удовлетворяющих отношению .

Сечением (или срезом) графика по элементу (левым сечением по ) называется множество таких , что имеет место .

Аналогичным образом определяется сечение графика по элементу (правое сечение по ) как множество таких , что имеет место .

Множества всех левых и всех правых сечений графика называется фактормножествами по графику (отношению ) соответственно множеств и .