4_Теоретико-числовые преобразования_2011

Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Цифровая обработка сигналов и изображений

Файл:

3) базисные функции вида

являются более предпочтительными по

сравнению с

базисными функциями ДПФ

, поскольку позволяют

избавиться от

комплексных умножений на числа exp( j2πkn/N) W kn ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

895.6 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических систем

Методические указания

к лабораторной работе

“Теоретико-числовые преобразования”

по курсу “Цифровая обработка сигналов”

Минск 2010

Цель работы

1.Изучить алгоритмы цифровой обработки сигналов на основе теоретико-числовых преобразований в конечном поле или кольце целых чисел по модулю чисел Ферма и по методу чисел Мерсенна.

2.Получить навыки моделирования теоретико-числовых преобразований в среде Matlab.

1. Теоретические сведения

1.1. Введение

При решении многих практических задач цифровой обработки

сигналов в радиолокации, радионавигации, связи, современном телевидении, в системах, где используется помехоустойчивое кодирование, требуется вычисление дискретной линейной или циклической свертки двух цифровых последовательностей. Она используется при вычислении авто- и взаимно корреляционных функций, при расчете и реализация цифровых фильтров с заданной импульсной характеристикой, при вычислении энергетического спектра.

Пусть даны две		последовательности	S n S 0 , S 1 ,...,S N1 1 и
h n	h 0 , h 1 ,...,h N 2 1 , определенные		на конечных интервалах, т.е.
S n	имеет длину N1	, h n − N 2. Линейная (апериодическая) свертка

этих последовательностей определяется как:

	N1 N 2 2
Y (m)	s(n)h(m n) ,
	n 0

m 0,1, , N1 N 2 2

(1)

и имеет длину	N1 N 2 1.
Циклическая (периодическая) свертка последовательностей
S n длинны	N имеет вид:

S n

Y (m)

s(n)h((m

n 0

n))

m 0,1, , N

(2)

где

m n m n mod N

Для эффективного вычисления циклических и линейных сверток применяют быстрые спектральные преобразования цифровых сигналов в базисах дискретных функций, заданных на конечных интервалах. Наиболее известными дискретными ортогональными преобразованиями в числовых и полиноминальных полях являются быстрые преобразования Фурье (БПФ), Уолша, Хаара, Виленкина-Крестенсона.

Другой известной операцией с сигналами, широко применяемой в системах, является корреляционная обработка. Циклическая (периодическая) корреляционная функция двух последовательностей равна:

R(m)

S(n)h(m

n 0

m 0,1, , N

Корреляционная последовательность через оператор свертки, если перед

R(m) может быть выражена
вычислением	R(m)	одна из

последовательностей будет прочитана в обратном порядке, за исключением нулевого отсчета.

Таким образом, эффективные алгоритмы вычисления свертки распространяются и на эффективные алгоритмы вычисления корреляции. Отсюда следует, что структурные схемы процессоров, вычисляющих свертку или корреляцию, не должны иметь принципиальных различий.

1.2. Теоретико-числовые преобразования

Теоретико-числовые преобразования (ТЧП) также позволяют существенно сократить число необходимых вычислительных операций при цифровой обработке сигналов. В этом случае преобразование заданного

массива

чисел (заданной цифровой последовательности) сводится к

выполнению ТЧП для отдельных частей этого массива. При соответствующем построении алгоритма преобразования это позволяет увеличить скорость выполнения операций. В данном случае можно говорить о выполнении быстрого преобразования ТЧП и о выполнении быстрых

сверток.
ТЧП определяются				только	для последовательностей	целых чисел
S n ,	n 0,1,...,N 1		и	a k ,	k 0,1,...,N 1; здесь N	−	количество
временных (частотных) отчетов соответственно временной							S n	и
спектральной		a k	последовательностей. Пара теоретико-числовых

преобразований определяется в экспоненциальной форме следующими выражениями:

N 1
a(k) S(n) kn modM ,
n 0
		N 1
S(n) N	1	a(k)	kn	modM
S(n) N		a(k)		modM
		n 0

k 0,1, , N 1; , n 0,1, , N 1,

(3)

(4)

где M – модуль преобразования (целое положительное число); N − целое положительное число, взаимно простое с M . − целое положительное число, такое, что N является порядком элемента .

Напомним,

что

наименьшее

положительное

число

удовлетворяющее равенству порядком элемента , Число

N N

1mod M , в кольце целых должно делить число p

чисел, называется 1 , где p – любой

из простых сомножителей		M . N 1 число обратное
решения сравнения N * N	1		mod M .

Пример 1.
Пусть задан модуль			M 9 и элемент кольца

элемента . Составляется степенной ряд:

. N

1	определяется из

. Найти порядок

		1		2	,	2	2	4	,	2	3	8	,	2	4	16	7mod9	,
		2
2	6	64	1mod9			;

число 6 есть порядок числа 2 для модуля кольца 9.

2	5

5mod9

Используя матрицу ТЧП порядка матричной форме:

, можно записать преобразование в

A T * S ;
S N	1	*T	1	* A,
S N		*T		* A,
				T	,	A [a(0),a(1),...,a(N
где S S 0 , S 1 ,...,S N1 1					,	A [a(0),a(1),...,a(N

отсчетов сигнала и спектральных коэффициентов, а прямого и обратного преобразования соответственно:

1)]T

−векторы-столбцы

иT 1 есть матрицы

	nk	mod M

;

T	1

	nk

mod M

Сравнивая приведенные выше формулы с соответствующими формулами для дискретного преобразования Фурье (ДПФ), легко заметить аналоги в записи этих двух преобразований. Из (3) и (4) ясно, что − аналог

в кольце целых чисел по модулю				M	примитивного корня из	единицы
W exp( j2π/N), определенного			в	поле комплексных чисел.		А вместо
N * N	1	1 следует находить N * N	1	mod M . При применении теоретико-

числовых преобразований числа представляются в так называемой модульной системе. Арифметические операции производятся без переносов от цифры к цифре, что обеспечивает увеличение скорости выполнения преобразований. Основами для рассматриваемых преобразований являются понятия делимости целых чисел, сравнений, вычетов, алгебраические операции в кольце или в поле целых чисел. Действия, как правило, производятся с числами особого вида (числа Мерсенна, числа Ферма), применение которых упрощает выполнение арифметических операций.

ТЧП обладают следующими преимуществами перед обычными БПФ:

1)отсутствуют ошибки округления результатов выполнения арифметических операций;

2)используется арифметика целых чисел;

4)для выполнения некоторых ТЧП не требуется операция умножения;

5)повышенное быстродействие и точность процедур цифровой фильтрации.

Проблемами ТЧП являются следующие:

1) противоречие между длиной

преобразуемых цифровых

последовательностей и величиной динамического диапазона при приемлемых размерах кодового слова может привести к большой длине кодового слова, а, следовательно, сравнительно сложной технической реализации процессора ТЧП;

2) арифметика преобразования требует выполнения операций над классами вычетов по модулю некоторого простого числа, что может усложнить операцию деления в модульной арифметике.

В этой связи применение ТЧП для вычисления цифровой свертке не может составить в полной мере альтернативу использования ДПФ. Рациональным является их совместное использование для вычисления свертки посредством так называемых алгоритмов сплетения ДПФ с ТЧП или гибридных алгоритмов.

Чтобы вычислить свертку цифровых последовательностей целых чисел, операции, определенные в поле комплексных чисел, непрерывные по своей

природе, можно реализовать в конечном поле или в конечном кольце с
операциями сложения и умножения по модулю некоторого целого числи M .
В этом кольце при свертке двух последовательностей	S n и	h n
выходная последовательность Y m также сравнима по	модулю	M . В

кольце целых чисел с заданными операциями по модулю

обычные целые

числа могут быть представлены однозначно, если их абсолютное значение
меньше M 2 . Поэтому если масштаб входной последовательности S n и
h n целых чисел выбран таким образом, что Y m никогда не превысит
M 2 , то можно получить одинаковые результаты при вычислении свертки в
кольце целых чисел с операциями по модулю M и обычной арифметикой.
Важно выбирать M	настолько большим, чтобы все элементы исходных
последовательностей	S n и h n , а также элементы сформированной

последовательности Y m содержались в интервале M 1 2, M 1 2 .

В противном случае некоторые решения могут быть неверными, но они будут сравнимы по модулю M с правильными ответами. Такая ситуация

называется псевдопереполнением. Это актуально для большинства приложений, связанных с ЦОС, где последовательность h n известна заранее или представляет импульсную характеристику. Обычно известна также максимальная амплитуда входного сигнала.

Теоретико-числовое преобразование возможно только при наличии в

кольце

элемента

порядка

обратного

элемента

. Пусть

M p1

* p2

r 2

*...* pe

представляет

разложение

числа

на

простые

множители.

Так как

имеет порядок

N , то в кольце должно выполняться

условие

1mod M .

Известно, что для составного модуля

элемент

кольца

должен иметь порядок

по модулю каждой степени простого

числа,

делящей M .

Таким образом,

в кольце с операциями по составному

модулю имеет место дополнительное условие выполнения ТЧП:

1mod P	ri
1mod P
i

1,2,...,e

(5)

Пример 2.
Пусть	M 14			. Представим его в виде M 2 7 . Легко проверить, что
элемент 3	кольца			с операцией по		модулю	14	имеет	порядок	6, т.е.
справедливо	6	1mod14.			В соответствии с		(5)	должны	выполняться и
	3
				6	1mod 2 и	6
следующие выражения: 3						3 1mod 7 .
В теории		чисел доказано, что				элемент	кольца или		поля	имеет
обратный ему		1	, если этот элемент взаимно простой с модулем. Когда и

M взаимно просты, то должна выполняться теорема Эйлера

	M	1mod M

(6)

где M − функция Эйлера определяет количество чисел, включая единицу,

меньших

и взаимно простых с

M , т.е. таких, которые не имеют с ним

общих делителей (или, по-другому, − наибольший общий делитель (НОД) который равен 1).

Пример 3.
Пусть M 15 . Числа, взаимно простые с 15, будут следующие: 1, 2, 4,
7, 8, 11, 13, 14 и 15 8 . Если M				− простое число, взаимно-простых будет
M 1 чисел. Для M 31 31 30.
Из выражений (5)			и (6) следует, что для существования обратного
элемента	N 1 P	не	должен	делить N . Таким образом, можно
	e

сформулировать основные общие требования к выбору параметров ТЧП. Теоретико-числовое преобразование размером N N в кольце целых

чисел с операциями сравнения по модулю целого числа М существует тогда

и только тогда, когда N делит НОД чисел соответствии с теоремой Эйлера, N − порядок

( p1 1, p2 1,..., pe	1) ,		т.е. в
должен делить	( pe	re	) , где

( p		re	)
	e

− функция Эйлера каждого простого сомножителя

. Заметим

также, что поскольку в поле целых чисел наличие обратных элементов гарантируется простотой модуля, то в поле ТЧП существует всегда.

Так как ТЧП по своей структуре подобны ДПФ, то для них

справедливы все свойства ДПФ с	заменой W на T	и выполнением
арифметических операций по модулю	M . В частности, строки матриц T и

T	1	ортогональны

основывается на

по модулю M . Построение обратной	матрицы	также
свойстве периодичности элементов	строки	матриц

преобразования матрицей T , но

( N k )n	mod M	kn	mod M

записаны в обратном

. Строки матрицы T 1 совпадают с порядке. Поэтому для вычисления

обратного ТЧП вместо	T	1	можно использовать матрицу прямого

преобразования, но результат преобразования следует прочесть в обратном порядке (кроме первой строки).

1.3. Свойства базисных функций и ТЧП

Основными свойствами базисных функций и теоретико-числового преобразования являются:

1. Ортогональность. Скалярное произведение двух базисных функций определяется в виде

N 1			N,	если k 1mod N;
	kn	k n
	kn	k n
n 0			0, в остальных вариантах.

2. Периодичность. В силу периодичности базисных функций также периодичны спектральные функции ТЧП:

S(n)

S(n N ) S(n); a(k N ) a(k).

3. Симметрия. Если

S( n) S(N n) ,

последовательность является симметричной, т.е. то соответствующая спектральная

последовательность также симметрична:

a(k) a( k) a(N

4. Симметрия двойного преобразования

T{T{S(n)}} N{s( n)}, где T − матрица преобразования.

5. Свойство сдвига

T{S(n m)} a(k)	mk	.

6. Быстрое преобразование ТЧП. Если N − составное число, то для вычисления преобразования может быть использован алгоритм, аналогичный БПФ и требующий выполнения порядка N(r1 r2 ... rm ) арифметических

операций.

7. Свойство свертки. Спектр свертки равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей:

a	y	(k)
	y

(k)

a	h	(k)
	h

Заметим далее, что равенство Парсеваля в обычном виде

N 1			1	N 1
S(n)	2	N	1	f (k)	2
S(n)		N		f (k)
n 0				n 0

не выполняется, поскольку в кольце или поле абсолютное число не определено. В силу модульной арифметики коэффициенты ТЧП не имеют определенного физического смысла.

1.4. Выбор и расчет параметров ТЧП

Для того, чтобы теоретико-числовые преобразования были более привлекательными по сравнению с БПФ при вычислении свертки, они должны быть эффективными с вычислительной точки зрения. Чтобы получить дополнительные преимущества, необходимо произвести хороший

выбор параметров , M ,

N . В частности, умножение на

и деление на M

должны быть простыми операциями. Деление может потребоваться для
осуществления	операции	приведения к	остатку	(обозначается “ .	”).
			37 16		M
Например, если	M 16 ,	то 37mod16	37 16	5 , т.к. 37 16 2 5 16 .

Она необходима для обеспечения условия замкнутости в алгебраической системе. Заметим, что существуют и более простые методы приведения к остатку, чем операция деления.

Как отмечалось ранее, для построения теоретико-числовой конструкции кольца или поля важно наличие обратного элемента в этой алгебраической системе. Известны различные способы нахождения

обратного элемента.
При сравнительно малой	величине модуля M (методом	перебора)
можно легко определить 1	на основе выражения * 1	1mod M .
8

Например, пусть

4 13 1mod17.

. Для числа 4 взаимно обратным будет 13, т.к.

	Для определения обратного элемента можно
модификацией теоремы Эйлера. Так как
	(m) 1mod M , то 1 (m) 1 mod M .
	Решение упрощается, если заранее известен порядок
M	− простое число.

Пример 4.

воспользоваться

(6)

элемента

, а

что N

6	,	M 31; найти 6	1	.

должен быть делителем

Из (6) получим 6	1	6	30 1	mod 31. Учитываем,

(m) . Составляем степенной ряд следующего

вида:

;

6	2

mod31

;

6 6

3 4

30mod31;

1mod 31 (т.к. 4 не делит целое число 30);

6	5

mod31

;

6	6

1mod31

, т.е. целое число 6 имеет порядок число 6.

Получим

1	((6	29	))		((6	24	5		5		26.
6	((6		))	31	((6		* 6 ))	31	((6 ))	31	26.
				31				31		31

Для нахождения обратных чисел может быть использован и алгоритм Евклида.

Запишем сравнение вида * 1 1mod M обозначим через х. Уравнение не изменится, прибавить величину, кратную модулю x My

, неизвестное число 1 если к его левой части1mod M , где y − целое

неизвестное число.

Получим диофантово уравнение вида

ax	M	by	M

решения

которого ищутся в целых числах. Если, а ≤ b оно решается так:

y( 1)n 1bn 1 ; x ( 1)n 1 an 1 ,

где	an 1 ,	bn 1	получаются на основании следующего представления
непрерывной дроби.
	Разделим		a и b (если a b ) и в результате получим	a	q		r0	, где r
	Разделим		a и b (если a b ) и в результате получим		q	0		, где r
				b		0	b	0
				b			b

− остаток от деления. Теперь разделим b на r0 и в результате получим

b	q1	r	. Можно продолжить этот процесс до тех пор, пока остаток
	q1	1	. Можно продолжить этот процесс до тех пор, пока остаток
		1
r		r
0		0

полученный при делении на некого ром шаге, не окажется равным нулю. Введем обозначение

(

q				a	0		;
					0
	0			b
	0

				0
a			q					1
	1								;
b					0			q	;
					0

1								1
a		n										1
b			q			0						1
						0

	n
								q
								1
										q	2
											2

Нас интересует

1)	n	an 1 .

Пример 5.

	1
	1
	...	1
	...	q
		q
		n

неизвестное

(число, обратное

), равное

257

, вычислим

44	1

44* x 1mod 257
257		5					37			;
44		5					44			;
44							44
44	1					7			;
37	1				37				;
37					37
37	5				2			;
7	5				7			;
7					7
7		3		1		;
2		3		2		;
2				2
an 3			a3			q
bn 3			b3			q				0
										0
											q1
											q1
a3 111;

; 44

* x

1 q3

257 * y 1mod257		; далее
q	5 ;
0
q1	1;
q2	5 ;
q3	3;

5		1			111		;
5	1	1				19	;
		1				19
		5	1
			1
			3
			3
x ( 1)n a				( 1)4				*111 111.
		n 1

Проверка 44*111 4884 1mod 257 .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТЧП с флешки вовы

#
15.06.201429.68 Кб6612345.xmcd
#
15.06.2014895.6 Кб814_Теоретико-числовые преобразования_2011.pdf
#
15.06.2014864.25 Кб9481130-108586.pdf
#
15.06.2014137.05 Кб71vesnik12(граф тчп).pdf
#
15.06.201412.87 Кб66xp.xmcd
#
15.06.2014281.74 Кб66Министерство образования республики Беларусь.docx
#
15.06.2014233.57 Кб64Сравнение по модулю — Википедия.mht