Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Цифровая обработка сигналов и изображений

Файл:

81130-108586

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

864.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

	Если
	bi = 0(m2 < i ≤	d − 1) ,	(5.16)
то	выполняется (5.13), (5.14)	определяет	частное, a
bi	GF (p)(0 ≤ i ≤ m2 ) , иначе (5.13) не выполняется.

5.6. Преобразование в кольце целых чисел по модулю m . Для специального кольца, которое не является полем, и именно кольца целых чисел по модулю составного целого числа m , также мо-

жет быть указан вариант преобразования, аналогичного (5.1).

		Предположим, что m – степень простого числа, например,
		, и что d – делитель (p − 1) . Мультипликативная груп-
		па R элементов кольца Rm , взаимно простых с m , остается цик-
		лической и имеет порядок				, который делится на d и,
		таким образом, содержит число r				порядка	. Преобразование по-
RFn− 1	pn m)	следовательности элементов Rm по-прежнему будет определяться
modp(mod= pp,− p1)> 2
		выражением (5.1).
		Числа ri (0 ≤ i ≤	d −	1) образуют подгруппу порядка d группы
		Rm , а элементы кольца Rm , сравнимы с единицей по mod p , обра-
		зуют группу порядка p n − 1, причем порядки этих подгрупп явля-
		ются взаимно простыми числами. Поэтому они могут пересекаться
		только по единице.			pα	1 pα t , где d		(pi − 1)(1≤ i ≤ t) и
		Можно также выбрать m =			pα	1 pα t , где d		(pi − 1)(1≤ i ≤ t) и
		r имеют порядок	( mod piα i		1	t			≤ t) ) и, следова-
		r имеют порядок	( mod piα i		для каждого i(1≤ i				≤ t) ) и, следова-
		тельно, также имеют порядок				.
		5.7. Практические методы выполнения преобразования.
		1. Случай F = GF(p) . Простейший метод состоит в представ-
		лении элементов поля		целыми числами 0,1, (p − 1) и в выпол-
		нении операций сложения и умножения с последующим приведе-
		нием по mod p . В другом варианте, когда					p не слишком велико,
		умножение по	можно заменить сложениями по mod(p − 1)
		и операциями поиска по таблице при помощи заранее построен-
		ных таблиц степеней первообразного корня w(mod p) . Этот прием
		хорошо известен и реализован в6вычислительных1							машинах, рабо-
		тающих в системе «классов вычетов».
		Удобно выбрать r		(порядка		в F ) в виде r ≡ wd′ (mod p) ,
		где d ′d = p − 1. Один из методов нахождения первообразного кор-

6. ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯВЫЧИСЛЕНИЯСВЕРТОК

6.1. Преобразование Рейдера. Рейдер ввел преобразование

вида

	A	≡	d − 1		2nk modb ,		(6.1)
	A	≡	¦a	n	2nk modb ,		(6.1)
	k		n= 0	n
			n= 0
где	b есть любое простое число Мерсенна b =					2 p − 1	при
p =	2,3,5,7,13,17,19,31,61	либо число Ферма b = 1+				2(2m )	при
m =	0,1,2,3,4.

Свертка двух конечных последовательностей в этом случае может быть получена как обратное преобразование произведения их прямых преобразований.

Основным преимуществом преобразования Рейдера является возможность выполнения умножений на степени 2 как циклические поразрядные сдвиги. Это преимущество не исключает трудностей вычисления результата по модулю b и ограничений, которые связывают длину кодового слова, длину последовательности d и возможность разложения d на множители, а также ограничений, которые возникают при любом из двух выборов b .

Известно, что преобразования, аналогичные преобразованию Фурье, могут быть определены в поле Галуа, причем эти преобразования обладают свойством циклических сверток. Сложение и умножение в GF(q 2 ) , когда полином x2 + 1 является неприводимым над GF(q) , совпадают с операциями, выполняемыми с комплексными числами.

Преобразования над конечным полем GF(q 2 ) могут быть использованы для вычисления свертки двух d -точечных последовательностей комплексных чисел. Если q является простым числом

d 2n GF(q )

Мерсенна, то арифметические операции, выполняемые при вычислении преобразования, включают сложение по модулю , операцию дополнения и циклическую перестановку разрядов кодового слова.

Преимущество этого преобразования над перед обычным ДПФ комплексных чисел заключается в том, что при достаточно больших q можно использовать это преобразование над для образования последовательности комплексных чисел an в по-следовательность Ak в GF(q 2 ) , для которой обратное пре-

образование в точности дает исходную последовательность комплексных чисел an . Следовательно, такие операции, как фильтрация и свертка, могут выполняться с помощью такого преобразования последовательности комплексных чисел без ошибок округле-

ния.

Если q является простым числом Мерсенна, то для реализации необходимых преобразований может быть использован алгоритм БПФ.

6.2. Преобразование Фурье над конечным полем. Пусть представляет поле Галуа; q – простое число, a – целое число, которое делит q n − 1. Пусть также элемент r GF(q n ) по-

рождает циклическую подгруппу d элементов Gd = (r,r 2 , ,r d − 1 ) в мультипликативной группе GF(q n ) . Тогда преобразование Фурье над подгруппой Gd может быть определено следующим образом:

A ≡	d − 1		r kn ,0 ≤	k ≤	d −	1,	(6.2)
	¦a	n
k	n= 0

где d делит q n − 1 и an	GF(q n ),0 ≤			n ≤	d −	1.

Чтобы построить обратное преобразование, предварительно

заметим, что все элементы Gd удовлетворяют уравнению xd			− 1= 0 .
Однако поскольку xd − 1=		0 раскладывается на множители в виде
xd − 1=	d − 1	d − 1
	(x − 1)¦ xk , то получаем: ¦ x k = 0, при x ≠ 1, x Gd GF(qn );
	k = 0	k = 0
	d − 1		(6.3)
	¦ xk = (d ), при x = 1,
	k = 0
где (d ) означает вычет d		по модулю простого числа q .

Эта формула была получена Поллардом и еще раньше Ридом и Соломоном. С помощью (6.3) можно получить дискретную «дель- та»-функцию, необходимую для построения преобразования, обратного (6.2).

Рассмотрим сумму				по всем элементам мультипликативной
подгруппы Gd :
				d − 1		d − 1
			¦ xn = ¦(r k )n =			¦(r n )k .
			x Gd	k = 0		k = 0
По форме это совпадает с (6.3), а r n является элементом Gd .
Поэтому имеем:
				-0, n ≠	0mod d
			d − 1	°
	¦ xn		d − 1	°	0mod d; при n ≠ 0modd ,		(6.4)
	¦ xn		= ¦(r n )k =	®(d ),n ≡	0mod d; при n ≠ 0modd ,		(6.4)
	x	Gd	k = 0	°
				°(d )δ d (n),
				¯
где	–	дельта-функция: δ d (n) =				0 , при n ≠ 0mod d ,	,
при n ≡	0modd .
Так как			является ненулевым элементом поля GF(q n ) , то
в поле GF(q n )			существует также обратный элемент (d )− 1 . Умно-
жая Ak	на (d )− 1 r − km и суммируя по k при k = 0,1, , d −						1, соглас-

но (6.2) и (6.4) получаем:

(d)− 1

d − 1

(d)− 1

d − 1d − 1

r kn r − km =

(d)− 1

d − 1

= (d)− 1

d − 1

(n − m) = a

¦ A r − km =

¦ ¦a

¦a

(¦ r k (n− m)

(d )¦a

k = 0n= 0

n= 0

k = 0

n= 0

k = 0

Таким образом, имеем:

Ak =

am =

d − 1
¦an r kn ,
k = 0	(6.5)
(d)− 1	d − 1
(d)− 1	¦ A r km ,
	k
	k = 0

где d делит q n − 1, am	и Ak	являются элементами GF(q n ) , r –
образующий элемент подгруппы			из d элементов мультиплика-
тивной группы GF(q n ) .
Чтобы доказать свойство циклической свертки пары преобра-
зований (6.5), положим	Ak =	d − 1	d − 1
		¦an r kn , Bk = ¦bn r kn ,Ck = Ak Bk , тогда
		n= 0	n= 0

согласно (6.5) обратное преобразование C , при k = 0,1, ,d − 1 есть

GCdp - =n An / B

kFd (q k) k

где

c p = (d)− 1	d − 1		d − 1
c p = (d)− 1	¦Ck r − kp =		¦anb( p−
	k = 0		n= 0
(p − n) означает вычет		по модулю

n) , (6.6)

Если an и bn принадлежат полю GF(q) , то есть являются целыми числами по модулю простого q , то свертка (6.6), являющаяся обратным преобразованием , будет также принадлежать GF(q) .

Следовательно, если можно найти такое r GF(q n ) , для которого умножения на степени r являлись бы простыми операциями при аппаратурной или программной реализации, то свертка в могла бы иметь практическую ценность при вычислении

сверток последовательностей целых чисел.

Ограничимся рассмотрением случая n = 2 . Рейдер показал, что двоичные арифметические операции легко выполняются, если в каче-

стве b выбрать простые числа Мерсенна или Ферма.Рассмотрим случай, когда b является простым числом Мерсенна. Если сравнение

x2 ≡ − 1mod q	(6.7)
не имеет решений, то принято говорить, что −	1 является квадра-

тичным невычетом. Согласно теореме Эйлера это эквивалентно соотношению

								,
где			§	a	·	представляет собой символ Лежандра, определяемый как
			¨	a	¸
			¨		¸
			¨		¸
			© q		¹
§	a	·	= +		1	, если a является квадратичным вычетом по модулю q ;
¨	a	¸
¨		¸
¨		¸
© q		¹
						, если a не является квадратичным вычетом по модулю q .
			Пусть				является квадратичным невычетом по модулю и
(6.7) не имеет решений в								. Тогда полином p(x) =	x2 + 1 не-
приводим в GF(q) . Корень уравнения
							p(x) =	x2 + 1= 0,	(6.8)

который мы обозначим ˆi , существует и может быть найден в рас-

ширенном поле		.
	GF(q 2 ) представляет собой множество:
где ˆi		GF( q 2	) = {a + ˆib	a,b GF( q )}	,	(6.9)

	является корнем уравнения			(6.8), удовлетворяющим соотно-
шению:
			,			(6.10)
где −	1≡ (q − 1) mod q .
	Если	не	имеет решений в		поле GF(q) , то
ˆi GF( q 2 ) играет ту же роль в конечном поле GF(q) , что						− 1 = i

tGα−* p1+ 1 2

2 Fd (q )

вполе рациональных чисел.

Вприложениях, касающихся ЦОС, радиолокации и систем связи, нас будут интересовать свертки комплексных чисел. В поле

GF(q 2 ) , где q является простым числом Ферма, такая конструк-

ция невозможна.

Если является квадратичным невычетом по модулю , то

свертка (6.6) комплексных чисел может быть вычислена с помощью

преобразований вида (6.5) над полем Галуа				, где an и bn
принадлежат полю GF(q 2 ) .
Если an ,bn GF(q 2 ) при n = 0,1, , d −				1, то преобразования
определяются как: A	=	d − 1	r kn ,
определяются как: A	=	¦a	r kn ,
k		n
Bk	=	n= 0		(6.11)
Bk	=	¦bn r kn ,k = 0,1, ,d − 1,		(6.11)
		d − 1
		n= 0
где r – образующий элемент подгруппы				из d элементов муль-

типликативной группы GF(q 2 ) .		Тогда, вычисляя обратное к пре-
образованию Ck	= Ak Bk при k =	0,1, ,d − 1, получаем:
	cn = (d)− 1	d − 1		(6.12)
		¦Ck r − kn ,
где cn GF(q 2 )		k = 0
	и d делит q 2 −	1.
Если q является простым числом Мерсенна, то порядок
мультипликативной группы с образующим элементом				поля
раскладывается на множители следующим образом:
t = (2 p − 1)2 − 1= 2 p+ 1 (2 p− 1 − 1).
Так как t имеет множитель, равный			, то обычный алго-
ритм БПФ может быть использован для вычисления d =				2 p+ 1 –то-

чечных преобразований. Если d = 2k ,1≤		k ≤ p + 1, и α	является пер-
вообразным элементом	, то образующий элемент мульти-
пликативной подгруппы Gd	порядка d	равен r = α	2p + 1− k (2p − 1 − 1) .

Можно отметить важное свойство поля Галуа GF(q2 ) , которым не обладает поле комплексных рациональных чисел. Если

x = a + ˆib GF( q 2 ) , то x ≠ 0 ,
x q2 − 1 = ( a + ˆib )q2 − 1 = 1.	(6.13)

Это частный случай общего тождества x qn − 1 = 1 для всех нену-

левых x GF(q n ) .

6.3. Алгоритм нахождения первообразных элементов в

GF(q 2 ) . Если требуется вычислить преобразование над GF(q 2 ) 2 p+ 1 –точечной последовательности комплексных чисел, an GF(q 2 ) в соответствии с (6.2), то необходимо найти первооб-

разный элемент в G2p+ 1 поля GF(q 2 ) . Для этого нужно учитывать
следующие теоремы.
Теорема 6.1. Если q является простым числом Мерсенна,
, где 1≤	k ≤	p + 1, то r = a +	ˆib есть первообразный элемент
в подгруппе	Gd	поля GF(q 2 )	тогда и только тогда, когда
r d / 2 ≡ 1mod q .
Доказательство. Если r d ≡ 1mod q , то r d / 2 ≡ ± 1mod q . Соглас-
но предположению r имеет порядок , так что r d / 2 ≡ 1mod q . По-

этому

r	d / 2	= ( a +	ˆ	d / 2	≡ − 1mod q	.	(6.14)
r		= ( a +	ib )		≡ − 1mod q

Предположим, что d не является наименьшим положительным числом, для которого это справедливо. Тогда существует

l =	2n < d,n <	k , для которого r l		≡ 1mod q .
	Пусть t =	(d,l) есть наибольший общий делитель			и l . Тог-
да	для	некоторых	x	и	и
				.
	Так как t < d , делит		. Поэтому r d / 2 ≡ 1mod q , что про-
тиворечит (6.14).

Теорема 6.2. Для простых чисел Мерсенна, q > 3, первым квадратичным невычетом по модулю q в последовательности

является 3.

Доказательство. Рассмотрим последовательность

1,2,3, ,q − 1. Будем последовательно проверять все числа последовательности до тех пор, пока не обнаружим первый квадратич-

ный невычет.

1d,x2%,+3,ly =+,qE−

d x

l y

dx ly

Единица является квадратичным вычетом. Далее имеем:

= (−

((2p − 1)2

− 1) / 8

= (−

(2p +

1 (2p− 1

− 1) / 8

= 1,

2 p −

1¹

и 2 является квадратичным вычетом. Согласно квадратичному за-

кону взаимности имеем:

(3− 1) / 2

§ 1

¨ (2

− 1)mod3¸

¸ =

¸ × (−

¸(− 1)

− 1

§ 1 ·

Однако ¨

= 1, таким образом, ¨

¸ = −

Чтобы найти первообразный элемент в G2p + 1 поля GF(q 2 ) ,

можно воспользоваться следующей процедурой. Предположим, что

элемент r = a +

iˆb имеет порядок 2 p+ 1 в GF(q 2 ) . Тогда ( a + ˆib )2 p

раскладывается на множители вида:

( a +

2 p

( a +

2 p −

(6.15)

ib )

ib )( a +

ib )

Согласно теореме о биноме получаем:

− 1

−

−.1

− 1

= a

− 1

− 1− 1

− 1−

( a + ib )

¸a

( ib ) +

¸a

( ib )

+ ( ib )

Но биномиальные коэффициенты:

2 p − 1

(2 p

− 1)(2 p

−

1− 1)(2 p

−

1 −

2) (2 p

− 1 −

k + 1)

1 2 3 k

при 1≤

k ≤ 2 p

−

все делятся на

2 p

−

1, так как

2 p − 1 – простое

число.

Следовательно,

( a +

2 p

≡

( a +

ˆ 2 p −

b )mod q .

ib )

ib )( a

ˆ 2 p − 1

−

( 2 p − 2 ) / 2

−

1, поэтому (6.15) приобретает сле-

Однако i

дующий вид:

( a +

2 p

≡

( a

)mod q .

(6.16)

ib )

Из теоремы 6.1 следует, что

2 p

≡

≡ − 1mod q

(6.17)

( a + ib )

Пусть

X ≡

a 2 mod 2 p −

а Y ≡

−

b2 mod 2 p

− 1. Тогда (6.17)

можно

записать как:

X +

1≡ Y mod q .

(6.18)

В (6.18)

согласно определению является квадратичным

вычетом. Для Y имеем:

однако	§	− 1	·	=
	¨	− 1	¸
	¨		¸
	¨	q	¸
	©	q	¹

−

− 1

·§

−

¸¨

¹©

(− 1)((2p − 1− 1) / 2)

(− 1)2p− 1 − 1 = −

1 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТЧП с флешки вовы

#
15.06.201429.68 Кб6612345.xmcd
#
15.06.2014895.6 Кб814_Теоретико-числовые преобразования_2011.pdf
#
15.06.2014864.25 Кб9481130-108586.pdf
#
15.06.2014137.05 Кб71vesnik12(граф тчп).pdf
#
15.06.201412.87 Кб66xp.xmcd
#
15.06.2014281.74 Кб66Министерство образования республики Беларусь.docx
#
15.06.2014233.57 Кб64Сравнение по модулю — Википедия.mht