Лаба 1-8 Лабы и ПЗ [Вариант 1] / 5 / ТЧП с флешки вовы / 81130-108586

ствования элемента N − 1 число N должно быть взаимно простым

сF , то есть pi не должен делить N .

4.3.Числа Ферма. Для того, чтобы теоретико-числовые преобразования были более привлекательными по сравнению с БПФ при вычислении свертки, они должны быть эффективными с вычислительной точки зрения. Предъявляются три следующих требования к таким преобразованиям.

Во-первых, N должно быть существенно составным (предпочтительно степенью 2) для того, чтобы существовал быстрый алгоритм, аналогичный БПФ.

Во-вторых, так как умножение комплексных чисел при вычислениях БПФ требует больших затрат машинного времени, важ-

Поэтому представляют интерес для рассмотрения только про-

41

преобразование с числами Ферма при условии, что выбрано число Ft . Для существования преобразований по модулю Ft длины N необходимо, чтобы N делило 0(Ft ) . Так как числа Ферма до F4 простые, то 0(Ft ) = 2b , и, следовательно, существуют преобразования с числами Ферма для любого N = 2m ,m ≤ b . Для этих простых чисел Ферма целое 3 является порядка N = 2b , допускающим наибольшую длину преобразования. Конечно, имеется 2b− 1 других целых чисел, которые также имеют порядок 2b . Они могут быть получены возведением 3 в нечетную степень.

Если α имеет порядок , то α P (mod Ft ) будет иметь поря-

док N P , если N P является целым числом. Поэтому с помощью

время доказано, что каждый простой сомножитель Ft имеет вид

сел Ферма максимальная возможная длина преобразования равна

2t+ 2 = 4b .

ПРИМЕР. При выполненииЧПФ ЧПФ входногоБПФсигнала, изображенногонарисунке1.1,можнополучитьследующиерезультаты(рисунок4.1).

43

Базисными функциями для преобразования с числами Ферма являются целочисленные показательные функции по модулю Ft , в отличие от комплексных показательных функций, характерных для ДПФ. Эти целочисленные показательные функции после достиже-

44

ния значения Ft / 4 свертываются. В силу свойств модулярной арифметики коэффициенты преобразования с числами Ферма, по-види- мому, не имеют определенного физического смысла.

Например, даже если значения сигнала, для которого определяется преобразование Ферма, невелики, его коэффициенты могут находиться где угодно в пределах от 0 до Ft − 1. Фактически на различных стадиях вычислений промежуточные значения преобразованного сигнала переполняют накопитель много раз. Однако конечный результат свертки будет точным, если входные сигналы соответствующим образом ограничены.

4.4. Метод Макклеллана. ЧПФ временной последовательности чисел x(n) определяется как

требуется (b + 1) разряд. Для упрощения операций в модулярной арифметике Агарвал и Баррас ограничились реализацией b -разряд- ной арифметики. Это вносило своеобразный «шум квантования» при появлении во входных данных –1 и приводило к возникнове-

45

нию чрезвычайно малой, но вполне реальной вероятности искажения блока данных после вычисления ЧПФ. Конечно, желательно вычислять ЧПФ точно.

Трудности, возникающие при построении двоичной арифметики по модулю Ft , становятся понятными, если рассмотреть умножение или сложение в кольце целых чисел по модулю Ft , вклю-

Метод точного вычисления ЧПФ и его реализация были описаны Макклелланом. Метод Макклеллана предполагает введение нового двоичного кода для представления целых чисел по модулю

. Пусть для двоичного представления используется (b + 1) раз-

Таким образом, метод Макклеллана представления чисел по

модулю Ft сводится к естественному двоичному взвешиванию с возможными значениями разрядов ± 1. Этим методом нуль представляется двоичной записью числа (при b = 4 0 представляется как 10000 ), причем (b + 1) и разряд используются только для представления 0 . Наличие дополнительного разряда при выполнении операций сложения или умножения, включающих числа, используемые для представления 0 , обнаруживается, и естественный порядок выполнения этих операций нарушается для получения верного результата. Этим по существу исключаются операции над (b + 1) -разрядным словом.

46

Макклеллан показал, что такое представление чисел дает возможность построить двоичную арифметику по модулю Ft , позволяющую получать отрицательные числа, осуществлять сложение и умножение на целочисленные степени 2. Эта новая арифметика по своей сложности не выше обычной комплементарной по отношению к 1 арифметике.

4.5. Аппаратурная реализация арифметических операций.

нозначно.

Отрицательные целые числа представляются путем их сложе-

ния с числом 2b + 1, такое представление во многом сходно с формой представления отрицательных чисел путем дополнения до двух

или единицы. Все целые числа от 0 до 2b − 1 могут быть записаны в b -разрядном двоичном регистре.

Остается проблема представления числа 2b . Если входные данные некоррелированы, то вероятность того, что это число появится в результате выполнения арифметической операции, при-

близительно равна 2− b . Для задач цифровой фильтрации наиболее типичным является выбор b равным 32 или 64 ; в этих случаях

47

вероятность появления 2b чрезвычайно мала. Если редкие ошибки при вычислениях свертки допустимы, то в этих случаях нет необходимости использовать еще один дополнительный разряд. Иначе придется использовать дополнительный разряд для представления

2b ценой усложнения аппаратуры.

4.6. Основные арифметические операции в арифметике с числами Ферма. Рассмотрим реализацию основных арифметических операций в арифметике по модулю F , исходя из b -битового представления целых чисел.

Представление чисел с уменьшением на 1. Чтобы представить все числа в кольце целых чисел по модулю Ft , необходим (b + 1) разряд. Дополнительный разряд требуется для представления чис-

48

.

Сложение. При сложении двух b -разрядных двоичных чисел получается b -разрядное двоичное число и возможен перенос из старшего разряда. Появление переноса из старшего разряда означает получение числа 2b = − 1mod Ft . При реализации арифметики по модулю 2b − 1 можно просто вычитать перенос. Поэтому в аппаратуре необходимо предусмотреть возможность вычитания переноса.

ПРИМЕР:

49

Вычитание. Вычитание выполняется как сложение уменьшаемого и вычитаемого с обращенным знаком.

Обобщенное умножение. При умножении двух b -разрядных чисел получается 2b -разрядное произведение. Пусть CL является его b -разрядной частью младшего порядка, а CH – b -разрядной частью старшего порядка. Тогда A × B = CL + CH 2b = CL − CH (mod Ft ) . Таким образом, для получения произведения необходимо лишь из содержимого регистра старшего порядка вычесть содержимое регистра младшего порядка.

ПРИМЕР:

(mod17):13× 9 = 117 = 15(mod17) ;

;

Умножение на степень 2. Если α выбирается равным 2 или степени 2, то получаются преобразования Рейдера и единственной операцией умножения является умножение на некоторую степень 2. Эта операция особенно просто реализуется в арифметике по модулю .

Предположим, что необходимо умножить содержимое регистра на 2k , 0 < k < b . В этом случае достаточно сдвинуть влево содержимое регистра на k разрядов и вычесть k бит переполнения. Это удобно сделать следующим образом. Добавить слева к регистру данных регистр нулей. Затем сдвинуть содержимое регистра удвоенной длины на k разрядов влево и отбросить нули в старших разрядах. Далее вычесть содержимое регистра высоких порядков из содержимого регистра низких порядков. Если k лежит за пределами интервала 0 < k < b , следует воспользоваться тем, что 2b = − 1mod Ft . При вычислении обратного преобразования необ-

50