Лаба 1-8 Лабы и ПЗ [Вариант 1] / 5 / ТЧП с флешки вовы / 81130-108586

обратный элемент обозначается как a − 1 и определяется уравнени-

ем: a a− 1 = a− 1 a = 1.

Если кроме перечисленных аксиом элементы группы удовлетворяют коммутативному закону ( a + b = b + a или ), то такая группа называется коммутативной, абелевой.

Далее при рассмотрении общей теории групп будем использовать обозначения, принятые для операции умножения.

Теорема 3.1: группа обладает единственным единичным элементом, и каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент.

Доказательство. В группе только один единичный элемент, так

Аналогично, обратный элемент единствен, потому что если бы не-

21

Отметим, что обратный элемент произведения равен произве-

дению обратных элементов сомножителей, взятых в обратном порядке, так как (ab)(b− 1a − 1 ) = a(bb− 1 )a− 1 = a1a − 1 = aa− 1 = 1 , и поэтому

b− 1a− 1 = (ab)− 1 .

ПРИМЕРЫ. Совокупность всех действительных чисел является группой относительно операции обычного сложения.

Совокупность всех положительных и отрицательных чисел с нулем также является группой относительно сложения.

Совокупностьвсехдействительныхчиселбез нуляявляется группой относительно обычного умножения. Все эти группы абелевы.

Совокупность всех невырожденных квадратных матриц порядка n представляет собой относительно матричного умножения неабелеву группу.

Многие важные группы могут быть описаны как совокупности преобразований некоторого пространства. Групповая операция, называемая умножением, определяется при этом следующим образом. Преобразование есть результат последовательного выполнения сначала преобразования b , а затем преобразования a .

Например, совокупность вращений n -мерного евклидова пространства является группой. Можно заметить, что вращения двумерного пространства образуют абелеву группу, тогда как вращения трехмерного пространства некоммутативны.

В качестве первого примера конечной группы рассмотрим все линейные преобразования плоскости, которые переводят квадрат в себя. Преобразование будет полностью определено, если указан результат его воздействия на четыре вершины квадрата (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Квадрат

22

Одним из возможных преобразований является поворот квадрата на 90° против часовой стрелки, так что А переходит в D, В – в А, С – в В, а D – в С. Это преобразование можно записать следующим образом:

ABCD .

DABC

Существует восемь таких преобразований:

Таблица умножения имеет вид:

1abcdefg

11abcdefg

aabc1efgd

bbc1afgde

cc1abgdef

ddgfe1cba

eedgfa1cb

ffedgba1c

ggfedcba1

Из таблицы видно, что у каждого элемента есть обратный элемент и выполняется ассоциативный закон.

Существует группа, состоящая только из одного элемента. Этот элемент должен быть единичным в соответствии с аксиомой G3;легко проверить, что при этом выполняются и все остальные аксиомы.

23

Существует также группа, состоящая из двух элементов. Один из них должен быть единичным элементом 0. Обозначим второй

элемент через a . Так как должен быть обратный элемент и

ность двух элементов, сложение которых определено этими правилами, удовлетворяет четырем аксиомам. Эта единственная группа из двух элементов является абелевой.

3.3. Кольца. Кольцом R называется множество элементов, на котором определены две операции и выполняются четыре аксиомы R1-R4. Одна из операций называется сложением и обозначается a + b , другая – умножением , даже если эти операции не являются обычными операциями сложения и умножения чисел.

Аксиома R1: множество R является абелевой группой относительно операции сложения, то есть аддитивной абелевой группой.

Аксиома R2 (замкнутость): для любых двух элементов a и из множества R определено произведение ab , которое является элементом R .

Аксиома R3 (ассоциативный закон): для любых трех элемен-

тов a,b,c из множества R выполняется равенство: a(bc) = (ab)c .

Аксиома R4 (дистрибутивный закон): для любых трех элементов из множества R выполняются равенства: a(b + c) = ab + ac

и (b + c)a = ba + ca .

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, то есть если для любых двух элементов a и выполняется равенство ab = ba .

Теорема 3.2: в любом кольце для любых элементов и спра-

ведливы соотношения: a0 = 0a = 0 и a(− b) = (− a)b = − (ab) . Доказательство. В любом кольце по аксиоме R4 для любого

ратный относительно операции сложения. Прибавляя этот обратный элемент к обеим частям последнего соотношения, получим:

24

0 = a0 + (− a0) = a0 + a0 + (− a0) = a0 + 0 = a0,

ПРИМЕРЫ. Все действительные числа образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно.

Все положительные и отрицательные целые числа и нуль также образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо также коммутативно.

Совокупность всех квадратных матриц порядка с целыми или действительными элементами является кольцом относительно операций матричного сложения и матричного умножения. Это кольцо некоммутативно.

Совокупность всех многочленов с целыми коэффициентами и одним неизвестным (или переменным) является коммутативным кольцом.

Множество, состоящее только из одного нулевого элемента, является кольцом, операции в котором определяются правилами:

3.4. Поля. Полем называется коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения (единичный мультипликативный элемент кольца), в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (то есть обратный по умножению).

Некоммутативное кольцо, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный, называют кольцом с делением, или телом. Ненулевые элементы поля удовлетворяют четырем аксиомам группы. Они образуют мультипликативную группу, то есть группу от-

25

носительно умножения.

Существует пять аксиом, задающих поле.

Аксиома P1 (замкнутость): в результате операции над двумя произвольными элементами поля a и получается третий элемент c , принадлежащий этому же полю (свойство замкнутости):

.

Аксиома P2 (ассоциативный закон): для аддитивной группы выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c) ; для мультиплика-

a e = e a = a .

Аксиома P4: существует обратный элемент: для операции сложения он обозначается и определяется из уравнения ; для операции умножения он обозначается a− 1 и

определяется из уравнения a a− 1 = e = 1.

Аксиома P5 (дистрибутивный закон): для всех элементов поля выполняется равенство a (b + c) = a b + a c .

ПРИМЕРЫ. Совокупность всех действительных чисел является полем, так же, как и совокупность всех рациональных чисел и совокупность всех комплексных чисел.

Наименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать два единичных элемента: 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения согласно единственной таблице сложения для группы с двумя элементами, и выполняется 0a = 0 для любого элемента a . Поскольку 1 является единичным элементом, то . Легко проверить, что совокупность элементов 0 и 1 с операциями, определенными выше, удовлетворяет всем аксиомам поля.

Можно показать, что для любого числа , являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее q элементов. Поле с элементами, где – простое число, можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю p . Совокупность

26

образовано из совокупности целых чисел по модулю q .

ПРИМЕРЫ построения простых полей: 1.

2. GF(3) : p = 3,m = 1, GF(3) → {0,1,2} .

3.

Если для поля GF(p m ) m 1, то такое поле называется расширенным. Элементы расширенного поля порождаются неприводимым характеристическим полиномом вида:

k = 0

Известно, что последовательные состояния регистра сдвига с

обратной связью (ее структура определяется видом выбранного характеристического полинома) взаимнооднозначно отображают элементы поля. Регистр сдвига, соответствующий полиному вида (3.1), изображен на рисунке 3.2.

27

Рисунок 3.2. Регистр сдвига с обратной связью, соответствующий полиному (3.1)

В качестве примера возьмем характеристический полином третьей степени P(x) = 1+ x + x3 . Схема формирующего регистра с обратной связью, соответствующего данному полиному, приведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3. Регистр сдвига с обратной связью, соответствующий полиному

P(x) = 1+ x + x3

28

Для каждого характеристического полинома можно определить сопровождающую матрицу вида:

там многочленов при полиномиальном представлении элементов

поля GF(2m ) .

Используя (3.3), запишем для характеристического полинома

P(x) = 1+ x + x3 в векторной форме:

Тогда координаты вектора ai+ 1 выражаются как:

ai+ 1,0 = ai,2 ;ai+ 1,1 = ai,0 + ai,2 ;ai+ 1,2 = ai,1 .

29

Эту совокупность операций реализует схема регистра на рисунке 3.2.

3.5. Вычисления в конечных полях. Сложение в простом поле выполняется просто. Оно заключается в суммировании элементов

Рисунок 3.4. Блок суммирования по модулю

При суммировании элементов расширенного поля складывают

Соответствующий блок суммирования показан на рисунке 3.5.

30