Лаба 1-8 Лабы и ПЗ [Вариант 1] / 5 / ТЧП с флешки вовы / 81130-108586

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

В.Н.Сюрин, С.А.Зайкова

ЧИСЛОВЫЕМЕТОДЫ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

Учебное пособие по одноименному курсу для студентов специальностей Н 02.02.00 «Радиофизика и электроника», 1-360402 «Промышленная электроника»

Гродно 2004

УДК 341:17 (075.8)

ББК 67

С98

Рецензенты: кандидат технических наук , заместитель директора УО «Гродненский филиал Института современныхзнаний»

В.И. Варнаков;

доцент кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики ГрГУ им. Я. Купалы, кандидат физико-математических наук Т.И. Копылова.

Рекомендовано советом физико-технического факультета ГрГУ им. Я.Купалы.

Сюрин В. Н.

С98 Числовые методы в цифровой обработке сигналов: Учебное пособие / В.Н.Сюрин, С.А.Зайкова. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 91 с.

ISBN 985-417-651-7

В пособии содержатся сведения об основных приложениях идей теории чисел для получения алгоритмов вычислений двух наиболее часто встречающихся в обработке сигналов процедур: вычислении цифровой свертки и дискретного преобразования Фурье. В рассматриваемых алгоритмах используются преобразования в конечном поле и теоретико-числовые свойства значений, которые могут принимать дан-

ные, а также теоретико-числовые свойства адресов данных.

УДК 341:17 (075.8)

ББК 67

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время предложено несколько новых типов алгоритмов, предназначенных для использования в области цифровой обработки сигналов, в которых можно разобраться и написать по ним специализированные программы, только располагая знаниями

вэлементарной теории чисел. Данное учебное пособие дает возможность ознакомления с основами теории чисел, необходимыми для понимания таких алгоритмов, обучения принципам и применению идей теории чисел в работе инженеров. Проиллюстрированы идеи теории чисел для получения алгоритмов вычислений в двух наиболее важных направлениях обработки сигналов: в вычислении свертки и дискретного преобразования Фурье.

Представленные в пособии алгоритмы можно условно разделить на два класса. К первому относятся алгоритмы, в которых используются преобразования в конечном поле и теоретико-числовые свойства значений, которые могут принимать данные. Второй класс образуют алгоритмы, в которых используются теоретико-числовые свойства адресов данных.

Во вводной части по элементарной теории чисел, в той мере, в какой она применяется в области цифровой обработки сигналов, изложены понятия, встречающиеся при изучении целых чисел и полиномов, свойства делимости и свойства сравнений. Рассмотрение примеров решений различных задач должно помочь инженеру

визучении теоретико-числовых закономерностей, не ограничивая его только определениями и теоремами.

3

1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ

1.1. Типы сигналов. Аналоговый сигнал описывается непрерывной функцией xa (t) , причем и аргумент, и сама функция могут принимать любые значения из некоторого конечного интервала. На рисунке 1.1а изображен график аналогового сигнала. К аналоговым сигналам относятся, например, речевые и телевизионные сигналы.

Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией x(nT ) , которая может принимать любые значения в некотором интервале, в то время как независимая переменная n принимает только диск-

x(0T ) = 2, x(1T ) = 3, x(2T ) = 3, x(3T ) = 2, x(4T ) = 1, x(5T ) = 0, x(6T ) = − 1, x(7T ) = 0 ,

может быть задана в следующей форме: x = [2,3,3,2,1,0,− 1,0] .

Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным. В первом случае отсчеты принимают только вещественные значения, во втором – комплексные. На рисунке 1.1б изображен график дискретного сигнала. К дискретным сигналам относятся, например, сигналы, используемые в процессах обмена данными в компьютерных сетях (системы сигналов в компьютерных модемах).

Цифровой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией xц (nT ) , принимающей только ряд дискретных значений – уровней квантования h1,h2 ,t,hk , в то время как независимая переменная n = 0,1,t На рисунке 1.1в изображен график цифрового сигнала. К цифровым сигналам относятся, например, сигналы, используемые в цифровом телевидении и цифровой телефонии.

Операция дискретизации состоит в том, что по заданному аналоговому сигналу xa (t) строится дискретный сигнал x(nT ) , причем x(nT ) = xa (t) . Операция восстановления состоит в том, что по

4

5

Рисунок 1.1. Типы сигналов

Операции дискретизации и восстановления взаимно обратны в том случае, когда дискретизируемый аналоговый сигнал удовлетворяет условиям теоремы Котельникова и имеет ограниченный спектр. На практике большинство аналоговых сигналов имеют ограниченный спектр и поэтому могут быть заменены при правильно выбранной частоте дискретизации соответствующими дискретными сигналами.

Операция дискретизации с одновременным квантованием по уровню есть аналого-цифровое преобразование, которое состоит в

том, что по заданному дискретному сигналу x(nT ) строится циф-

ровой сигнал xц (nT ) , x(nT ) → xц (nT ) , при этом

xц (nT ) ≈ x(nT ),n = 0,1,t

Операция цифро-аналогового преобразования состоит в том,

что по заданному цифровому сигналу xц (nT ) строится дискрет-

ный сигнал x(nT ) , xц (nT ) → x(nT ) , при этом x(nT ) = xц (nT ) . Операции дискретизации и цифро-аналогового преобразова-

ния не являются точно взаимно обратными, поскольку квантование выполняется с неустранимой погрешностью, которая определяется шумом квантования по уровню. Практически число разрядов, которое могут обеспечить современные АЦП при необходимой частоте дискретизации, достаточно для получения цифровых сигналов высокого качества.

1.2. Дискретное преобразование Фурье. Прямым и обратным дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ) для последователь-

ности x(nT ) , состоящей из N временных отсчетов с периодом T , называется пара взаимно-однозначных преобразований:

6

2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

2.1. Простое и составное числа. Если a и – два произ-

вольных целых числа, причем b – положительное число, то в ре-

Если остаток равен нулю, то говорят, что b делит a , или является делителем a , что можно записать следующим образом:

. (2.3)

Если не считать отрицательные делители, то можно сказать, что каждое целое число имеет, как минимум, два делителя:

Если a > 1 и делится только на 1 и на себя, то такое число называется простым. Число 1 не считается простым, а 2 является единственным четным простым числом.

Другие целые числа, имеющие несколько делителей, называются составными. Первыми в натуральном ряду составными чис-

либо хотя бы одно из них раскладывается на множители. Во втором случае, продолжая процесс разложения на множители, можно получить представление в виде произведения только простых чисел:

где pi – i -тое простое число; – целочисленный показатель степени. Основная теорема арифметики утверждает, что любое число может быть представлено в виде произведения (2.6), и такое представление является единственным.

8

ПРИМЕР: 24 = 2 2 2 3; .

2.2. Сравнение и вычет. Если в (2.1) и (2.2) число фиксировано, то оно называется модулем. Для бесконечного числа вариантов выбора a можно получить один и тот же остаток . В этом случае все числа сравнимы по модулю . Остаток называется также вычетом по модулю b , или просто вычетом.

ПРИМЕР. Если b = 6, то a = 16 , a = 28, a = − 2 , и все дают один и тот же остаток, так что 16, 28 и –2 сравнимы по модулю 6.

Любая величина сравнима с ее собственным вычетом, и все попарно сравнимые величины принадлежат некоторому классу, который характеризуется общим вычетом. Для заданного модуля b имеется точно b таких классов, по одному на каждое возможное значение остатка, которыми могут быть 0,1,2, ,b − 1.

ПРИМЕР. Дни недели могут рассматриваться как классы вычетов по модулю 7. Если 5 октября была среда, тогда 12, 19 и 26 октября будут принадлежать классу вычетов, носящему название «среда».

Два числа, имеющие один и тот же вычет по модулю b , должны отличаться между собой на величину, кратную b . Символ ≡ в теории чисел принято использовать для обозначения сравнения. Таким образом, формула

Индекс b может быть опущен, если его значение ясно из контекста.

9

При выполнении вычислений всегда возможно сравнение, которое устанавливает связь между целыми классами чисел с одним и тем же вычетом, заменить равенством, включающим этот вычет. То есть, если

В этом случае большинство из нас воспользовались бы логарифмами, чтобы получить число 4,16 × 1089 , и получили бы приблизительный ответ, которому соответствует некоторая область неопределенности на действительной оси чисел. В то же время вычет определяется точно, и ответ на задачу указывает положение 6250 на действительной оси чисел с неопределенностью, величина которой кратна модулю.

Существуют ситуации, когда можно комбинировать «размытый» результат одного вида вычислений с точным результатом другого вида вычислений и получить точный результат, несмотря на наличие трудных в вычислительном отношении форм. Возможны случаи, когда важен только вычет. Поэтому рассмотрим процедуру нахождения вычетов.

2.3. Процедура нахождения вычета. Для упрощения проце-

дуры нахождения вычета можно воспользоваться специальными приемами. Известен простой прием: вычет десятичного числа по модулю 10 есть последняя десятичная цифра этого числа, так как

10