Лаба 1-8 Лабы и ПЗ [Вариант 1] / 5 / 7цос
.pdfБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Кафедра радиотехнических систем
Отчет
по лабораторной работе №7
“ Теоретико-числовые преобразования ”
Выполнил: |
Проверил: |
Студент гр. 740101 |
Ходыко Д.Л |
Дрягин Д.В |
|
Минск 2010
Цель работы:
Изучение алгоритмов цифровой обработки сигналов на основе теоретико-числовых преобразований в конечном поле или кольце целых чисел по модулю чисел Ферма и по методу чисел Мерсенна.
Предварительное задание
а)N=5 – число отсчетов, a=2 – основание , S(n) = {-1,1,-1, -1,1} b). N=7, a=2, S(n) = {-1,1,-1,-1,1,1,1}
Решение:
1) Определить модуль, с которым будет выполняться прямое и обратное теоретикочисловые преобразования.
a) N |
5 ; a |
2 ; |
a N |
1 mod |
M ; 2 5 1 mod M ; M 31 ; |
Условие выполнения обратного теоретико-числового преобразования: элементы а 1 и N 1 должны существовать в кольце целых чисел по модулю М. Проверим, выполнение данного условия Для операции сложения:
а |
1 |
a |
0 mod |
31 ; |
а 1 |
|
(31 |
2 ) mod 31 |
29 mod 31 ; |
|||
N |
1 |
N |
0 mod |
31 ; |
N |
|
1 |
(31 |
5 ) mod 31 |
26 mod 31 ; |
||
|
|
|
||||||||||
Для операции умножения: |
|
|
|
|
||||||||
a |
1 |
a |
1 mod |
31 ; |
a |
1 |
|
16 mod |
31 ; |
|
||
N |
1 |
N |
1 mod |
31 ; |
N |
1 |
|
25 mod 31 ; |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: M=31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b) N |
7 ; a |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a N |
1 mod M ; |
2 7 |
1 mod |
|
M M |
127 ; |
|
|||||
Операция сложения:
а
N
1
1
a |
0 mod |
127 ; |
а 1 |
|
(127 |
2 ) mod 127 |
125 |
mod 127 ; |
N |
0 mod |
127 ; |
N |
1 |
(127 |
7 ) mod 127 |
120 |
mod 127 ; |
|
Операция умножения:
a 1 |
|
a |
1 mod 127 ; |
a 1 |
|
64 mod |
127 ; |
N |
1 |
N |
1 mod 127 ; |
N |
1 |
18 mod |
127 ; |
|
|
Ответ:M=127.
2) Построить прямую и обратную матрицу ТЧП для заданных параметров
a) Для построения матрицы прямого теоретико-числового преобразования воспользуемся следующими соотношениями:
2 0 |
1 mod |
31 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 mod |
|
31 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
4 mod |
|
31 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
8 mod |
|
31 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
16 mod |
31 ; |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 0 |
2 1 |
2 2 |
2 3 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
2 5 |
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
|||||
1 mod |
31 ; |
2 0 |
2 2 |
2 4 |
2 6 |
2 8 |
|
|
|
|
|
|
||
2 6 |
|
|
T |
|
1 |
4 |
16 |
2 |
8 |
|||||
2 mod |
|
31 ; |
2 0 |
2 3 |
2 6 |
2 9 |
2 12 |
|
1 |
8 |
2 |
16 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 8 |
8 mod |
|
31 |
2 0 |
2 4 |
2 8 |
2 12 |
2 16 |
|
1 |
16 |
8 |
4 |
2 |
2 9 |
16 mod |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 12 |
4 mod |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 16 |
2 mod |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица обратного теоретико-числового преобразования имеет вид:
|
|
2 0 |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||
|
|
2 0 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
4 |
|
1 |
16 |
8 |
4 |
2 |
|
T |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
6 |
2 |
8 |
|
1 |
8 |
2 |
16 |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 0 |
2 |
3 |
2 |
6 |
2 |
9 |
2 |
12 |
|
1 |
4 |
16 |
2 |
8 |
|
|
|
2 0 |
2 |
4 |
2 |
8 |
2 |
12 |
2 |
16 |
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Для построения матрицы прямого теоретико-числового преобразования воспользуемся следующими соотношениями:
2 0 |
1 mod |
127 |
; |
||
2 1 |
2 mod |
127 |
; |
||
2 2 |
4 mod |
|
127 ; |
||
2 3 |
8 mod |
127 |
; |
||
2 4 |
16 |
mod |
127 ; |
||
2 5 |
32 |
mod |
127 ; |
||
2 6 |
64 |
mod |
127 ; |
||
2 7 |
1 mod |
127 |
|
||
2 8 |
2 mod |
|
127 |
||
Матрица обратного теоретико-числового преобразования имеет вид:
T 1
3)Вычислить прямое и обратное ТЧП для последовательностей
а) N 5 ; S Т |
1 1 |
1 |
1 1 |
; |
|
|
|
M |
2 N 1 |
2 5 1 31 ; |
1 |
1 mod |
31 ; |
2 |
1 16 mod 31 ; N 1 25 mod 31 ; |
Перейдем к вычислению коэффициентов прямого теоретико-числового преобразования.
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
8 |
16 |
|
1 |
|
5 |
|
|
A |
T S |
|
1 |
4 |
|
16 |
2 |
8 |
|
1 mod |
31 |
7 mod |
31 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
|
2 |
16 |
4 |
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16 |
|
8 |
4 |
2 |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16 |
8 |
4 |
2 |
5 |
|
1 |
S |
1 |
|
T |
1 |
A |
1 |
1 |
8 |
2 |
16 |
4 |
7 mod 31 |
1 mod 31 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
N |
|
5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
16 |
2 |
8 |
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
5 |
|
1 |
б) N 7 ; S T |
|
|
|
1 1 |
1 |
1 1 1 1 ; |
|
|
|||||||||
M |
2 |
N |
|
1 |
2 |
7 |
1 |
127 ; |
1 |
1 mod 127 ; |
2 . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислим коэффициенты прямого теоретико-числового преобразования.
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
|
32 |
64 |
1 |
|
101 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
16 |
64 |
2 |
|
8 |
32 |
1 |
|
35 |
|
|
A |
T S |
1 |
8 |
64 |
4 |
32 |
|
2 |
16 |
1 |
mod 127 |
11 |
mod 127 ; |
||
|
|
|
1 |
16 |
2 |
32 |
4 |
|
64 |
8 |
1 |
|
57 |
|
|
|
|
|
1 |
32 |
8 |
2 |
64 |
|
16 |
4 |
1 |
|
105 |
|
|
|
|
|
1 |
64 |
32 |
16 |
8 |
|
4 |
2 |
1 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
101 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
32 |
8 |
2 |
64 |
16 |
4 |
35 |
|
1 |
S |
1 |
T |
1 A |
1 |
1 |
16 |
2 |
32 |
4 |
64 |
8 |
11 |
mod 127 |
1 mod 127 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
N |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
64 |
4 |
32 |
2 |
16 |
57 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
16 |
64 |
2 |
8 |
32 |
105 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
29 |
|
1 |
4)Найти четырехточечную циклическую свертку последовательности (1, 2, 0,
0)саму с собой с помощью графа быстрого ТЧП.
Выполнение
1)Выбор параметров:
элемент ТЧП а=2 Длина(размерность) N=4
, то M=15
2)Формирование матрицы ТЧП
|
2 0 |
2 0 |
2 0 |
2 0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
T |
2 0 |
2 1 |
2 2 |
2 3 |
|
1 |
2 |
4 |
8 |
|
1 |
1 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
; |
||
2 0 |
2 2 |
2 4 |
2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
4 |
1 |
4 |
|
|
1 |
4 |
1 |
4 |
|
||||
|
2 0 |
2 3 |
2 6 |
2 9 |
|
1 |
8 |
4 |
2 |
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)Вычисление свертки
S T |
|
( 0 1 |
1 |
|
3 ); |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
1 |
7 |
A |
|
T S |
|
|
|
mod 15 |
mod 15 ; |
|
|
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
0 |
|
|
1 |
8 |
4 |
2 |
3 |
10 |
2 элемент ТЧП для {S(n)} 0mod15=0 |
|
||||||
N |
1 |
4 mod 15 |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5)Быстрое ТЧП
S(n)={0,1,-1,3}
6)Последовательность S(n) после двоично-инверсной перестановки 7)Последовательность после первой итерации 8)Последовательность после второй итерации
9)Последовательность после возведения в квадрат,умножение на число обратное N и изменения знака степени
10) Последовательность S(n) после двоично-инверсной перестановки
11)Последовательность после первой итерации
Вывод: в этой работе исследовались теоретико-числовые преобразования. Было изучено какими преимуществами ТЧП обладают перед обычными БПФ, а также о недостатках ТЧП; основные свойства базисных функций и теоретико-числового преобразования; преобразования с числами Ферма и Мерсенна; быстрое вычисление свертки с помощью теоретико-числового преобразования Ферма