Элементы квантовой физики Волны де Бройля

ЗАДАЧА 3.36

Вычислить длину волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью = 0,75 ( – скорость света в вакууме).

Дано: = 0,75 m = 9,1 кг	Решение Длина волны де Бройля . Импульс частицы, движущейся с релятивистской скоростью , равен
– ?

.

Тогда

; ;

= .

Ответ: .

ЗАДАЧА 3.37

Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов В. Найти длину волны де Бройля.

Дано: В Дж	Решение Длина волны де Бройля . Импульс выразим при условии, что кинетическая энергия электрона равна
– ?

,

откуда .

С другой стороны, где – заряд электрона.

Тогда

;

;

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 3.38

Найти длину волны де Бройля : 1) электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите; 2) нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при ; 3) протона, движущегося в однородном магнитном поле с индукцией по окружности радиусом .

Дано: 1) 2) 3)	Решение Длина волны де Бройля определяется соотношением . (1) 1.  Скорость электрона, находящегося на -й боровской орбите, определяется из правила квантования орбит электрона: . (2) На электрон, движущийся в атоме, действует кулоновская сила, сообщающая электрону центростремительное ускорение:
– ?

,

откуда радиус орбиты

. (3)

Подставляя (3) в (2), получим:

. (4)

Подсчитаем скорость электрона для :

.

Так как , то по формуле (1) определяем длину волны: .

2.  Средняя квадратичная скорость нейтрона

;

,

т.е. , поэтому длина волны де Бройля

; ;

.

3.  На протон, движущийся по окружности в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая сообщает частице центростремительное ускорение, т.е.

,

откуда

; ; .

; .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера. Потенциальные ямы и барьеры

ЗАДАЧА 3.39

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода.

Дано:	Решение При можно считать, что импульс электрона по порядку величины равен его неопределенности, т.е. , а разброс расстояний электрона от ядра равен радиусу орбиты, или .
– ?

Тогда в соответствии с принципом неопределенностей

.

Энергия электрона в атоме может быть представлена выражением

, (1)

где .

Значение , при котором , можно найти, приравняв производную к нулю:

,

откуда

. (2)

После подстановки (2) в (1) получим:

; ;

.

Ответ: .

Задача 3.40

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода – порядка . Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Дано:	Решение Соотношение неопределенностей Гейзенберга: , где – неопределенность координаты; – неопределенность импульса; – постоянная Планка.
– ?

Предполагая, что – линейному размеру атома, получим: .

Импульс электрона, обладающего кинетической энергией , равен

.

Предполагая, что по порядку величины , оценим :

;

;

.

Ответ:

Задача 3.41

Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов . Принимая, что неопределенность импульса равна от его числового значения, определить неопределенность координаты электрона.

Дано:	Решение Согласно соотношению неопределенностей , (1)
– ?

где – неопределенность координаты электрона; – неопределенность его импульса; – постоянная Планка.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов ,

,

а энергия покоя электрона

,

т.е. электрон при данных условиях является нерелятивистской частицей.

Импульс электрона

; .

Согласно условию задачи неопределенность импульса ,

т.е. , и электрон при данных условиях является классической частицей.

Из выражения (1) следует, что искомая неопределенность координаты электрона

;

;

.

Ответ: .

Задача 3.42

Электрон находится в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина которой . Определить энергию, излучаемую при переходе электрона с третьего энергетического уровня на второй.

Дано:	Решение Энергия электрона (масса ), находящегося на -м энергетическом уровне в потенциальной яме шириной , определяется по формуле .
– ?

Энергия, излучаемая при переходе электрона с ( )-го уровня на -й, равна

; ;

.

Ответ: .

Задача 3.43

Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими стенками. Пользуясь уравнением Шредингера, найти собственные значения энергии частицы.

Дано:	Решение Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи: . По условию задачи (бесконечно высокие стенки, см. рис.) частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами ямы равна нулю.
– ?

На границах ямы (при и ) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

. (1)

В пределах ямы ( ) уравнение Шредингера:

,

или

, (2)

где

. (3)

Общее решение дифференциального уравнения (2):

.

Так как по (1) , то .

Тогда

Условие (1) выполняется только при , где – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

. (4)

Из выражений (3) и (4) следует, что

,

т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа . Следовательно, энергия частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.

Ответ: .

Задача 3.44

Две частицы, электрон и протон, обе с энергией 5 эВ, движутся в одном направлении и встречают на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой 10 эВ и шириной 1 пм. Определить отношение вероятностей прохождения частицами этого барьера.

Решение. Вероятность прохождения частицы через указанный барьер определяется коэффициентом прозрачности

Искомое отношение вероятностей равно

.

Массы электрона и протона соответственно равны

m_e=9,110^-31 кг, m_p=1,6710^-27 кг.

Вычисляя, получаем

.

Ответ: .