3.3 Метод кинематических диаграмм

3.3.1 Построение диаграмм

Этот метод применяют, когда интерес представляет положение и движение только выходного звена механизма. Пусть этим звеном является ползун 3 кривошипно-ползунного механизма, изображённого на рис. 3.11, а. Схема механизма вычерчена в масштабе. Положение ползуна характеризует координата . Её отсчитывают от одного из крайних положений этого звена, обычно – от наиболее удалённого от точки . Именно это и принято на рисунке. В крайнем положении кривошип 1 и шатун 2 вытягиваются в одну прямую . При этом , где и – длины звеньев 1, 2.

принимают за начало отсчёта координаты . Этой координате придают ряд равноотстоящих значений в диапазоне от нуля до . Для каждого строят схему механизма, отмечая и нумеруя положения точек и . По положениям точки находят координату .

Рис. 3.11. Кинематические диаграммы кривошипно-ползунного механизма

Каждую пару значений координат и откладывают по заранее заготовленным осям графика (рис. 3.11, б). Масштабные пересчёты делают руководствуясь формулой (3.1). Зависимость координаты выходного звена от координаты входного, в данном случае зависимость , называют функцией положения механизма.

Двукратным дифференцированием получают графики и . Принципиально точным является дифференцирование методом касательных. Согласно этому методу в точке дифференцирования, например , проводят касательную (рис. 3.11, б).

Из произвольной точки , лежащей на оси следующего графика, проводят луч, параллельный касательной. Отрезок, отсекаемый лучом на оси , изображает в некотором масштабе производную в точке . Продолжая дифференцирование, из той же точки проводят лучи, параллельные другим касательным к кривой , и получают прочие значения первой производной.

При построении графика второй производной касательные проводят к графику первой производной. По завершении построений определяют масштабы, на которых не останавливаемся.

С помощью производных определяют скорость и ускорение ползуна для любого . Скорость есть производная от координаты по времени : . Координата зависит от , а от : . По правилам дифференцирования сложных функций получают . Поскольку , то скорость ползуна

. (3.7)

Ускорение есть производная по времени от скорости. Как показывает формула (3.7), скорость представляет собой произведение двух переменных – и , причём, есть известная функция угла (см. рис. 3.11, б), а , как и прежде, некоторая функция . С учётом всего этого . Производная есть ускорение кулачка . В итоге, ускорение ползуна

. (3.8)

Используя компактные формы обозначения производных, формулы (3.7), (3.8) представляют в виде:

; .

Эти формулы применимы не только к рычажным механизмам, но также к кулачковым и даже зубчатым механизмам. Важно лишь, чтобы движение на входе у них было вращательное, а на выходе поступательное.

3.3.2 Сущность производных функции положения

Из формулы (3.7) следует, что первая производная равна отношению скорости выходного звена к скорости входного:

. (3.9)

Отношение скоростей каких-либо двух звеньев или отдельных точек этих звеньев называется передаточным отношением¹. Таким образом, первая производная функции положения – это передаточное отношение от выходного звена механизма к входному.

Вторая производная – это своеобразная скорость изменения передаточного отношения. Своеобразие состоит в том, что в роли времени выступает координата входного звена. Уподобляя времени, её следует наращивать равномерно.

Из формул (3.7), (3.8) вытекает, что при равномерном вращении входного звена ( ) скорость выходного пропорциональна первой производной от по , а ускорение пропорционально второй производной. На этом основании указанные производные называют аналогом скорости и аналогом ускорения выходного звена.

Формула (3.8) показывает также, что ускорение на выходе пропорционально квадрату скорости на входе. Это правило распространяется на ускорения всех точек механизма, т. к. любую из них можно принять за выходную.

Графики, изображённые на рис. 3.11, называют кинематическими диаграммами, хотя это чисто геометрические характеристики механизма.