2.6 Двумерные модели механизма

Структуру и кинематику любого плоского механизма можно изучать как по трёхмерной, так и двумерной модели. На рис. 2.7 представлены трёхмерные – а, в и соответствующие двумерные – б, г модели плоских механизмов. Двумерная модель проще трёхмерной, и в этом её преимущество.

Деление пар на высшие и низшие производится по трёхмерной модели. Класс, присвоенный при этом, сохраняется и при переходе к двумерной модели. Таким образом, на рис. 2.7, г пара 1-2 по-прежнему высшая, остальные низшие.

Рис. 2.7. Трёхмерные – а, в и соответствующие двумерные – б, г модели механизмов

Связи пар двумерных моделей. Как и в трёхмерных моделях, связи пар двумерных моделей делятся на активные и пассивные. Принцип определения числа активных связей остаётся прежним. В кулачковой паре 1-2 (см. рис. 2.7, г) связь одна. Во вращательной паре 0-1 и поступательной паре 0-2 необходимо и достаточно иметь по две точки касания – и (рис. 2.8), следовательно, активных связей – по две.

Рис. 2.8. Активные связи вращательной и поступательной пар двумерной модели механизма

Структурная формула. Формула выводится так же, как для трёхмерных моделей, но отличается коэффициентом при числе подвижных звеньев :

. (2.3)

Отличие объясняется тем, что после удаления всех связей каждое подвижное звено остаётся в своём двумерном пространстве и обретает не шесть степеней свободы, а три, как всякая плоская фигура на плоскости (см. рис. 2.1). Из (2.3) выводят формулу числа избыточных связей:

. (2.4)

В модели четырёхзвенника (рис. 2.7, б) ; в модели кулачкового механизма (рис. 2.7, г) . Вообще, в двумерных моделях избыточные связи встречаются редко. Немногочисленные исключения приведены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Механизмы, двумерные модели которых содержат избыточные связи: а – клиновой; б – двухкулисный; в – сдвоенный параллелограмм

Вычисления по формуле (2.4), выполненные в порядке следования механизмов на рисунке, дают следующие результаты:

; ; .

Устранение избыточной связи, обнаруженной в каждом из трёх рассмотренных случаев, является сложным делом и в задачу данного курса не входит.

Использование структурной формулы на этом не заканчивается: она применяется ещё и при кинематическом анализе.

3 Кинематика рычажных механизмов

В этом разделе будут рассмотрены только плоские механизмы. Ёмкое слово «кинематика», стоящее в заголовке, означает: кинематический анализ и синтез. Кинематический анализ состоит в определении положений, скоростей и ускорений отдельных точек и звеньев в целом. Ниже рассматриваются графические методы кинематического анализа.

3.1 Определение положений

Дана схема механизма, вычерченная в определённом масштабе (рис. 3.1, а). Требуется построить эту схему при некотором новом значении угла , характеризующего положение звена 1.

Построение схемы начинают с изображения звеньев 0, 1 под углом (рис. 3.1, б). Размеры звеньев копируют с рис. 3.1, а.

Звено 1 с задаваемым положением называют начальным. Соответственно и весь механизм 0, 1, построенный на данном этапе, называют начальным механизмом, хотя это всего лишь зародыш механизма. Чтобы решить, какие звенья пристроить к начальному механизму в первую очередь, воображают, что механизм собирается из разрозненных звеньев, причём начальный механизм уже собран и угол «заморожен». В результате замораживания начальный механизм превращается в одно твёрдое тело Ф₁ (рис. 3.1, в).

Звенья 2, 3, взятые с исходной картины (рис. 3.1, а), присоединяют по отдельности к телу Ф₁. У звена 2 берут пока только сторону . Вращая звенья вокруг точек В и D, получают траектории с₂ – с₂ и с₃ – с₃ их свободных концов. На пересечении траекторий отмечают точку С. Точку С соединяют с точками В и D, в результате находят положение звена 3 и одной стороны звена 2.

Траектории с₂ – с₂ и с₃ – с₃ представляют собой геометрические места точек С₂ и С₃, поэтому метод определения положения точки С называют методом геометрических мест. Этот метод называют также методом засечек.

Положение точки E и других сторон звена 2 (рис. 3.1, г) находят, снимая размеры этого звена с рис. 3.1, а. На этом построение цепи 2, 3 завершено.

После цепи 2, 3 становится возможным определение положения цепи 4, 5 (рис. 3.1, д). Для этого всё ранее построенное превращают в одно твёрдое тело Ф₂. Звенья 4, 5 присоединяют по отдельности к телу Ф₂. Вращая звено 4 вокруг точки E и перемещая ползун 5 по направляющей, строят траектории f₄ – f₄ и f₅ – f₅ точек F₄, F₅. На пересечении траекторий находят положение шарнира F. Соединяя точки E и F, получают положение звена 4. Положение звена 5 определяет точка F. На этом задача определения положений всех звеньев решена. Подытоживая, получают следующий порядок построения схемы: 0, 1 + 2, 3 + 4, 5.

Рис. 3.1. Построение схемы механизма по заданному положению звена 1

Если схему строить по заданному положению звена 3, то порядок построения будет следующим: 0, 3 + 1, 2 + 4, 5 (см. рис. 3.1, а). При этом в методике решения задачи не будет ничего нового.

При построении схемы по заданному положению звена 5 или, иначе, по координате (рис. 3.2, а), не удастся найти ни одной двухзвенной цепи, положение которой было бы определимо. Определить положение можно лишь вовлекая в построения все оставшиеся звенья. Это делается следующим образом.

Звено 5 устанавливают на заданное расстояние (рис. 3.2, б). Звено 2 (треугольное) отсоединяют от звеньев 1, 3, 4. Изображают траектории b₁ – b₁, c₃ – c₃, e₄ – e₄ освободившихся концов этих звеньев. Звено 2 помещают какими-либо двумя вершинами на свои траектории, например c₃ – c₃ и e₄ – e₄, и, скользя по ним, получают траекторию b₂ – b₂ третьей вершины. На пересечении траекторий b₁ – b₁ и b₂ – b₂ располагают шарнир В. Соединяя шарниры A и B, находят положение звена 1. По положению звена 1 определяют положение звеньев 2, 3 и 4, 5. Это делают уже известным способом, рассмотренным выше. В цифровом виде порядок построения имеет вид: 0, 5 + 1, 2, 3, 4.

Если для каждого момента времени определимо положение цепи, то определимы скорости, ускорения и любые другие характеристики движения. На этом основании цепи, положение которых определимо на каждом этапе построения схемы, называются кинематически определимыми.

Рис. 3.2. Построение схемы механизма по заданному положению звена 5

Первые закономерности строения кинематически определимых цепей звеньев нашёл в начале прошлого столетия петербургский профессор Леонид Владимирович Ассур (1878–1920). В его честь кинематически определимые цепи назвали цепями или группами Ассура.