6.4.4 Теорема Жуковского
Теорема: «Если
силу, приложенную к какой-либо точке
механизма, перенести параллельно самой
себе в одноименную точку плана скоростей,
повёрнутого на 90 в
произвольном направлении, то момент
силы относительно полюса плана будет
пропорционален её мощности». Говоря об
одноименной точке, подразумевают систему
обозначений, которой пользовались выше.
Теорема доказывается ниже на примере
силы тяжести
,
приложенной к точке S
некоторого вращающегося звена AS
(рис. 6.3).
На повернутом
плане скорость точки S
изображает вектор
,
параллельный
.
– масштабный коэффициент плана. Сила
,
перенесенная параллельно себе в точку
s плана, имеет
относительно полюса p
плечо h . По
взаимной перпендикулярности сторон
угол
между плечом h и
вектором
равен одноимённому углу между силой
и скоростью
.
Момент силы
относительно полюса определяется
следующей цепочкой формул:
Рис. 6.3. К доказательству теоремы Жуковского
Поскольку
есть мощность
силы
,
то
,
т. е.
момент пропорционален мощности, что и
требовалось доказать.
6.4.5 Проверка силового расчёта
Пусть по теореме Жуковского требуется проверить расчёт, который рассмотрен выше. Расчётная схема механизма повторена на (рис. 6.4, а). Согласно общему уравнению динамики, мгновенная мощность всех внешних сил механизма и сил инерции его звеньев равна нулю. Полагая, что названные силы приведены к безмоментной форме, получают следующее уравнение мощностей:
Внешние силы и силы инерции переносят со схемы механизма в одноимённые точки повёрнутого плана скоростей (рис. 6.4, б).
Левую и правую части уравнения мощностей делят на масштабный коэффициент плана скоростей. Согласно теореме Жуковского, мощность каждой силы превращается в её момент относительно полюса, а уравнение мощностей превращается в уравнение моментов:
.
Из уравнения
моментов определяют Fд,
обозначаемое далее как
.
Если всё правильно, то
должно быть равно
,
найденному через реакции. В этом и
состоит проверка.
Рис. 6.4. Проверка силового расчёта
На рис. 6.4 план скоростей выступает как твёрдое тело, подвешенное шарнирно за полюс и находящееся в равновесии под действием приложенных сил. Такой план называется рычагом Жуковского.
7 Динамика машин
Основная задача динамики машин состоит в определении закона движения машины по заданным внешним силам.
Как и при силовом расчёте, предполагается, что механизм, составляющий основу исследуемой машины, плоский и имеет одну степень свободы. После замены высших пар низшими механизм приведён к рычажному виду. Звенья механизма абсолютно твёрдые. Силы трения отсутствуют.
7.1 Приведение сил и масс
Решение
динамической задачи облегчается, если
сложную систему сил и масс заменить
или, как говорят, привести к более
простой. В механизмах с одной степенью
свободы возможно приведение такой
системы к одной силе и одной массе. Звено
приложения заменяющей силы и массы
называется звеном приведения.
В
качестве такового выбирают то звено,
закон движения которого необходимо
определить в первую очередь. В механизме,
на примере которого рассматривался
силовой расчёт, этим звеном является
кривошип 1
(рис. 7.1, а),
совершающий вращательное движение. При
вращательном движении звена приведения
заменяющую силу представляют в виде
приведённого
момента
,
а заменяющую массу характеризуют
приведённым
моментом
инерции
.
Приведённый момент направляют предварительно по ходу звена приведения. Истинное направление устанавливают расчётом. После замены масс подвижные звенья механизма становятся как бы пустотелыми и их можно отбросить. Остающаяся заменяющая сила и заменяющая масса образуют одномассовую динамическую модель механизма (рис. 7.4).
Правила приведения сил и масс. При любых преобразованиях сил и масс должен выполняться закон сохранения энергии. А это значит, во-первых, что работа приведённого момента на элементарном перемещении механизма должна быть равна работе приводимых сил. Во-вторых, мгновенная кинетическая энергия машины до приведения масс и после должна быть одной и той же.
При графических методах расчёта удобнее пользоваться равенством не работ, а мощностей. Равенство мощностей получается из равенства работ путём деления последнего на время перемещения. В результате правило приведения сил формулируется так: приведённый момент должен быть таким, чтобы его мгновенная мощность была равна мгновенной мощности всех приводимых сил.
Такая
формулировка очень удобна для приведения
сил с помощью рычага Жуковского. Чтобы
это сделать, все внешние силы представляют
в безмоментной форме. В частности,
полагают, что моменты
,
создаются парами сил
и
с плечом
(рис. 7.1, б). Эти и другие внешние
силы переносят в одноимённые точки
повёрнутого плана скоростей (рис. 7.1,
в).
По правилам приведения сил мощность приведённой пары должна быть равна мощности всех приводимых сил. В то же время, по теореме Жуковского, мощность силы пропорциональна её моменту относительно полюса. Из всего этого следует, что на плане скоростей момент приведённой пары должен быть равен сумме моментов всех приводимых сил. Учитывая, что силы, проходящие через полюс, не создают момента, получают уравнение
.
Из этого уравнения находят
.
Положительное
подтверждает принятое направление
силы, отрицательное – отвергает его.
Перенеся пару
с плана скоростей на схему механизма,
находят величину и направление момента
.
Момент, направленный по скорости звена
приведения, считается положительным.
Рис. 7.1. Приведение сил
Приведение масс. Кинетическая энергия заменяющей массы (см. рис. 7.1, а) должна быть равна кинетической энергии всех подвижных звеньев. Пренебрегая массой и моментом инерции звена 4, из равенства кинетических энергий последовательно получают:
;
.
Угловые скорости выражают через линейные, а именно:
;
;
.
После подстановок получают:
Для упрощения расчётов отношения скоростей, стоящие в скобках, заменяют на отношения отрезков, изображающих скорости на плане скоростей. Отношения скоростей не зависят от закона движения механизма, поэтому скорость точки можно принять произвольно. Приведение сил и масс упрощается, если эту скорость считать постоянной.
Для решения задач динамики величины и определяют во всех фазах движения механизма. Для этого рассмотренные выше построения и вычисления повторяют многократно.