5.7 Сложные зубчатые передачи

5.7.1 Передачи с неподвижными осями колёс

Основная задача кинематического анализа любых зубчатых передач состоит в определении передаточного отношения. Как и в плоском зацеплении, в любой передаче, состоящей из двух вращающихся звеньев, передаточное отношение от первого звена ко второму . Для более сложных передач с неподвижными осями общее передаточное отношение, т. е. передаточное отношение от первого звена к последнему -му, определяют по формуле

. (5.10)

Согласно формуле, общее передаточное отношение равно произведению всех промежуточных. Индексы при указывают номера звеньев, а не номера зубчатых колёс, которых у звена может быть несколько. Заменяя каждое отношением скоростей, получают: . После сокращений уравнение обращается в тождество, что доказывает справедливость формулы (5.10).

Пример. В передаче, изображённой на рис. 5.23, известны числа зубьев всех колёс. Требуется определить передаточное отношение .

Рис. 5.23. Зубчатая передача с неподвижными осями колёс

Решение. .

Рассмотренная передача называется ступенчатой. Колёса 1, 2а образуют первую ступень; 3а, 2б – вторую; 4, 3б – третью. Если все колёса лежат в одной плоскости или, говоря иначе, расположены в один ряд, то передача называется р довой, пример приведён на рис. 5.24.

Рис. 5.24. Р довая зубчатая передача

Для этой передачи . Результат показывает, что передаточное отношение рядовой передачи зависит от чисел зубьев только крайних колёс.

Для передач с параллельными осями – рядовых и ступенчатых – имеет смысл знак передаточного отношения. Он положительный, если колёса вращаются в одном направлении, и отрицательный, если в разных. Знак общего передаточного отношения можно установить алгебраически через знаки промежуточных передаточных отношений или визуально, обходя колёса по маршруту, показанному на рис. 5.24 волнистой стрелкой. Стрелка показывает, что крайние колёса вращаются в разных направлениях, и значит, общее передаточное отношение – отрицательное. Учёт знака важен при аналитическом анализе планетарных передач.

5.7.2 Планетарные передачи

Передача называется планетарной, если она содержит хотя бы одно колесо с подвижной осью (рис. 5.25, а, б). Колесо с подвижной осью называется сателлитом. В данном примере – это колесо 2. Звено , несущее сателлит, называется водилом. Звенья 1, 3, – центральные. Ось, проходящая через точку , – главная.

Сателлитов может быть несколько, это увеличивает нагрузочную способность передачи, однако для кинематического анализа достаточно принять во внимание только один сателлит.

Колёса представлены на схеме своими центроидами или, иначе, начальными окружностями. Числа зубьев , , всех колёс при анализе считаются известными, поэтому есть возможность изобразить схему в некотором масштабе.

Основная задача анализа состоит в определении передаточного отношения . Это передаточное отношение от центрального колеса к водилу. Задача может быть решена как графически, так и аналитически. Графическое решение опирается на картины линейных и угловых скоростей.

Картина линейных скоростей представляет собой совокупность линий распределения скоростей всех точек, лежащих на оси, проходящей вдоль водила. Для построения картины схему изображают в произвольном масштабе, при этом радиусы начальных окружностей определяют исходя из пропорциональности этих радиусов числам зубьев. Обозначают шарниры , и точки касания , окружностей всех колёс. Задаются скоростью какой-нибудь из обозначенных точек, например скоростью точки колёс 1 и 2. Задаваемую скорость изображают вектором произвольной длины. Соединив точки и , получают линию распределения скоростей колеса 1.

Рис. 5.25. Планетарная передача – а, б и картина угловых скоростей – в

Скорость точки сателлита такая же, как точки колеса 1. Сателлит катится без скольжения по окружности колеса 3. Точка является мгновенным центром вращения сателлита. Соединяя и , получают линию распределения скоростей сателлита. С помощью этой линии находят скорость в центре сателлита.

Скорость на подвижном конце водила такая же, как в центре сателлита. Водило вращается вокруг точки . Соединяя и , получают линию распределения скоростей водила. На этом построение картины линейных скоростей завершено.

Картина угловых скоростей. Если все линейные скорости отнести к одному и тому же расстоянию от центра вращения, то на основании известной формулы эти линейные скорости можно рассматривать как угловые. В качестве принимают произвольный отрезок (рис. 5.25, в).

Из точки проводят лучи, параллельные линиям распределения скоростей. На прямой, перпендикулярной , эти лучи отсекают отрезки, изображающие угловые скорости соответствующих звеньев. Отсчёт скоростей ведётся от точки . Например, отрезок изображает скорость , – скорость .

Для определения передаточного отношения масштаб картины не имеет значения, поэтому достаточно измерить длины отрезков , и поделить один на другой: .

Аналитическое определение величины . Формулу передаточного отношения выводят методом обращения движения относительно водила. В данном случае метод состоит в том, что стойке механизма вместе со всем его содержимым сообщают вращение вокруг главной оси со скоростью – , т. е. со скоростью водила, но в обратном направлении (рис. 5.26).

П од содержимым подразумеваются все звенья механизма и двигатель, вращающий колесо 1. После обращения движения водило становится неподвижным; колесо 3 вращается со скоростью ; колесо 1 имеет скорость относительно корпуса и вместе с корпусом; результирующая скорость . Передаточное отношение от звена 1 к 3

. Отсюда

. (5.11)

Обращённый механизм равносилен переставленному на водило. На этом основании можно называть передаточным отношением механизма, переставленного на водило. С учётом этого замечания выделенная формула читается так: Передаточное отношение от центрального колеса к водилу равно единице минус передаточное отношение от того же центрального колеса к другому центральному после перестановки механизма на водило.

Теперь задача сводится к выражению величины через числа зубьев. После перестановки на водило планетарная передача превращается в обыкновенную, и для неё становится справедливой формула (5.10). В соответствии с этой формулой . Знак «минус» поставлен потому, что колёса 1 и 3 вращаются во взаимно противоположных направлениях. После подстановки в (5.11) получают:

. (5.12)