5.2 Эвольвентное зацепление

5.2.1 Принцип образования зацепления

По произвольным окружностям, вращающимся вокруг своих центров и , катится без скольжения прямая (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Образование эвольвентного зацепления

В произвольном месте прямой размещена рисующая точка . След точки на плоскости каждого из колёс образует кривые Э₁, Э₂, которые называются эвольвентами, по ним и очерчивают профили зубьев. Участки профилей, расположенные внутри окружностей обката, нарисованы пока произвольно. Эвольвентное зацепление можно представить также как след точки, которая принадлежит нити, перематывающейся с одной окружности на другую.

Рисующая точка оказывается одновременно и точкой касания нарисованных кривых. Траектория точки касания зубьев называется линией зацепления. При эвольвентных профилях (и только эвольвентных) траектория точки касания или, иначе, линия зацепления прямая. Эта прямая оказывается также контактной нормалью. Нормаль пересекает линию центров в полюсе . В любой фазе зацепления полюс занимает неизменное положение на линии центров, следовательно, передаточное отношение постоянно.

Физически передаточное отношение задают окружности, по которым катится прямая . Эти окружности называют основными. Из качения прямой без скольжения следует равенство . Отсюда вытекает ещё одна формула передаточного отношения:

. (5.4)

Радиусы , основных окружностей конкретного зацепления постоянны, поэтому передаточное отношение тоже постоянно, причём, не только в любой фазе зацепления, но и при любом межцентровом расстоянии. Независимостью передаточного отношения от колебаний межцентрового расстояния обладает только эвольвентное зацепление. Это свойство очень важно для практики, т. к. невозможно сделать что-либо абсолютно точно и сохранить эту точность в эксплуатации.

5.2.2 Эвольвента, её свойства и уравнения

Построение эвольвенты. Из принципа образования эвольвентного зацепления следует, что эвольвента – это кривая, которую описывает точка прямой линии, перекатывающейся без скольжения по окружности. Исходя из «ниточной» модели зацепления, эвольвента может быть определена также как кривая, которую описывает конец натянутой нити, разматываемой с окружности. Отсюда эвольвенту называют развёрткой окружности.

Из первого определения эвольвенты вытекает следующий способ её приближённого построения. К окружности произвольного радиуса проводят несколько касательных, изображающих перекатываемую прямую в разные моменты времени (рис. 5.3).

Полагая, что качение происходит по часовой стрелке, нумеруют точки касания в последовательности , и т. д. В произвольном месте перекатываемой прямой отмечают точку и указывают её первое положение . Покатывая прямую в окрестности точки , получают первую элементарную дугу эвольвенты. Эту дугу заменяют дугой окружности радиуса . Перекатив прямую в точку , аналогично получают следующую дугу. Её радиус выбирают так, чтобы данная дуга выходила из конца предыдущей. Так шаг за шагом может быть построена эвольвента любой требуемой протяжённости.

Рис. 5.3. Элементы эвольвенты

Э лементы и свойства эвольвенты. Эвольвента имеет две бесконечные ветви, симметричные относительно прямой . В окрестности точка перекатываемой прямой меняет свою скорость на обратную, поэтому называется точкой возврата эвольвенты. – центр кривизны эвольвенты в точке ; – радиус кривизны в точке и нормаль к эвольвенте в этой точке.

Любая другая точка, отмеченная на перекатываемой прямой, например точка , образует эвольвенту, идентичную предыдущей. Это значит, что при повороте вокруг точки эвольвента, произведённая точкой , совмещается с эвольвентой точки . Из построений вытекают следующие свойства эвольвенты:

1) нормаль к эвольвенте касается основной окружности;

2) радиус кривизны эвольвенты равен дуге основной окружности, расположенной под этим радиусом: , .

3) между эвольвентами расстояние .

Уравнения эвольвенты. Их выводят сначала в полярных координатах , . Полярный угол отсчитывают от оси , проходящей через точку возврата . Уравнения координат можно получить только в параметрической форме. Параметром, через который выражают координаты, является угол профиля , заключённый между касательной к эвольвенте и полярным радиусом. В прямоугольном треугольнике , где есть центр кривизны эвольвенты в точке , угол при точке равен . С учётом этого угол . Поскольку , то

. (5.5)

Полярный радиус выводят из треугольника , где

. (5.6)

На этом вывод уравнений закончен. В помощь расчётчикам созданы таблицы функции (5.5). Она называется эвольвентной и записывается в виде . Название читается как инволюта .

Независимо от формы профилей зубьев, зацепление может быть как колёсным, состоящим из двух колёс, так и реечным, состоящим из колеса и рейки.