5.1.1 Среднее передаточное отношение

Анализируемый механизм преобразует вращательное движение со скоростью во вращательное со скоростью . Пусть число зубьев колеса 2 в два раза больше числа зубьев колеса 1. Тогда за один оборот большего колеса меньшее сделает два оборота. Во столько же будут отличаться и скорости колёс. Распространяя этот вывод на произвольное число зубьев, получают:

. (5.1)

Согласно формуле, скорости колёс обратно пропорциональны числам их зубьев. При выводе формулы молчаливо предполагалось, что скорости колёс постоянны. Это возможно лишь при специально подобранных профилях зубьев. При случайных профилях и постоянной скорости одного из колёс скорость другого будет, скорее всего, переменной. Точно так же будет вести себя и передаточное отношение, в частности, будет колебаться около значения . Следовательно, формула (5.1) выражает лишь среднее передаточное отношение.

5.1.2 Мгновенное передаточное отношение

Переставим механизм на колесо 1 (рис. 5.1, б) и найдём мгновенный центр вращения колеса 2. Мгновенный центр должен находиться на пересечении перпендикуляров к скоростям каких-нибудь двух точек колеса 2. Очевидно направление скорости точки , оно перпендикулярно АВ. Не столь очевидно, но всё же определимо направление скорости точки .

Рис. 5.1. Определение мгновенного передаточного отношения

Как бы ни двигалась точка , её траектория не пересекает профиль зуба колеса 1. Из непересечения следует касание. Через точку касания любого количества кривых можно провести единственную касательную, вдоль неё и проходит скорость . Искомый мгновенный центр вращения находится на пересечении перпендикуляров к скоростям , . Этим центром является точка . Заметим попутно, что точка , совпадающая с , называется мгновенным центром скоростей колеса 2 относительно 1.

По свойству мгновенного центра скоростей , т. е. скорость точки относительно колеса 1 равна нулю. Отсюда (см. рис. 5.1, а).

Выражая скорости точек , через скорости своих звеньев, получают: . Отсюда передаточное отношение

. (5.2)

В отличие от среднего, это точное передаточное отношение. Оно называется мгновенным, относящимся только к данной фазе зацепления. Профили зубьев должны быть подобраны так, чтобы мгновенное передаточное отношение в любой фазе зацепления было равно среднему, определяемому числами зубьев.

В плоском зацеплении мгновенный центр вращения и мгновенный центр скоростей одного колеса относительно другого называется полюсом зацепления. Если говорить об абсолютных движениях, т. е. о движениях относительно стойки, то полюс зацепления – это точка, в которой скорости зубчатых колёс равны друг другу: .

Из решения задачи о мгновенном передаточном отношении вытекает основная теорема плоского зацепления:

«Нормаль к профилям зубьев, проведённая через точку их касания, пересекает линию центров в полюсе зацепления и делит эту линию на части, обратно пропорциональные скоростям колёс».

5.1.3 Центроиды зацепления

Центроиды состоят из точек , построенных во всех возможных фазах движения механизма. Периодически останавливая работающее зацепление и протыкая плоскости обоих колёс в полюсе зацепления, получают сразу две центроиды Ц₁, Ц₂ (см. рис. 5.1, а). Если передаточное отношение постоянно, то центроиды получаются круглыми, именно это подразумевается на рисунке.

Центроиды обладают двумя важными свойствами: они всегда касаются друг друга и перекатываются друг по другу без скольжения. Первое свойство вытекает из образования центроид проколами сразу двух плоскостей, второе следует из равенства скоростей в точке касания. Радиусы круглых центроид выводят из системы

(5.3)

Первое уравнение системы вытекает из свойства центроид всегда касаться друг друга, второе получается из уравнений (5.1), (5.2).

Первое научно обоснованное зацепление, обладающее постоянным передаточным отношением в любой фазе зацепления, было циклоидальным с профилями зубьев, очерченными по циклоидам. Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности при перекатывании её по другой окружности или прямой. Своё первое применение циклоидальное зацепление нашло в часовых механизмах и сохранилось там до сих пор. В других механизмах циклоидальное зацепление было вытеснено эвольвентным, предложенным математиком, швейцарцем по происхождению, Леонардом Эйлером в 1750 году. Это примерно на сто лет позже изобретения циклоидального зацепления.