Диссипативные системы (и.Пригожин)

    Кроме консервативных систем, изучаемых в классической механике, нам нужно рассмотреть также системы, приводящие к необратимым процессам. Простейшим примером такого рода могут служить системы с трением.     Важная роль трения, представляющего собой особую форму диссипативного процесса, была осознана задолго до создания классической механики. Когда Аристотель высказал предположение, что все подлунные динамические системы в общем случае стремятся к равновесию, на самом деле он выражал идею о том, что нечто вроде "трения" должно замедлять движение. В этом плане классический принцип инерции, отражающий основную роль ускорения, а не скорости, соответствует некоторой идеализации, возникающей в результате пренебрежения трением.     Начиная с работ Фурье и Клаузиуса, в XIX в. возрос интерес к диссипативным системам, приводящим к необратимым процессам. Это было довольно естественно с учетом происходившей тогда промышленной революции. Однако по той же причине диссипацию рассматривали тогда лишь в связи с исчерпанием доступной энергии.     Интересно, что один из великих древнегреческих философов,. Платон, был глубоко убежден в том, что как постоянство, так и изменчивость являются составными частями реальности. Однако в XIX в. возникла конфликтная ситуация. Так, в физике необратимость и диссипация воспринимались как некоторая деградация, а, с другой стороны, биологическая эволюция, очевидно, также являющаяся необратимым процессом, ассоциировалась. с возрастанием сложности. Возможно, благодаря своему технологическому значению механика жидких сред исторически оказалась первой областью, в которой была полностью осознана решающая роль диссипативных процессов. Однако, по мере того как постепенно утверждалась молекулярная концепция строения вещества, аналогичная тенденция получила развитие в науке, химической кинетике, теории броуновского движения и различных типах транспортных явлений. Сегодня уже общепризнано, что диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем.     Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния системы используются такие коллективные переменные, как температура, концентрация, давление, конвективная скорость и т. д. При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не инвариантны относительно операции обращения времени в отличие от уравнений

  и      .

 

На этой основе можно ожидать, что чередование соответствующих событий будет необратимым. Эта ситуация удивительно ярко иллюстрируется на примере химической реакции. Рассмотрим процесс, описываемый уравнением  . Скорость расходования частиц типа А пропорциональна частоте встреч молекул типов А и В, которая в случае разбавленных систем пропорциональна произведению их концентраций. Таким образом, имеем

               (1)

Очевидно, при обращении времени (t’=-t) и введении обозначений  ,  для концентраций в зависимости от времени уравнение (1) принимает вид:

Теперь это уравнение описывает процесс, в котором вещество типа А не расходуется, а производится. Разумеется, такой процесс неэквивалентен описываемому уравнением (1). В качестве дальнейших примеров диссипативных процессов можно рассмотреть теплопроводность и диффузию. Как показывает эксперимент, если в однородной жидкости возникает небольшая неоднородность, то такое возмущение со временем расплывается и постепенно исчезает. Аналогичная одонозначно направленная эволюция наблюдается в случае небольшого изменения температуры, внесенного быстро и локально в изотермическую жидкость. Количественное описание этих явлений, блестяще согласующееся с опытными данными, дается следующими уравнениями, называемыми соответственно уравнением Фика и уравнением Фурье:

                (2)

                (3)

где с—концентрация некоторого вещества, растворенного в жидкости, Т— температура, D — массовый коэффициент диффузии н х—коэффициент температуропроводности. При обращении времени мы опять получаем совершенно другие законы:

Согласно этим уравнениям, начальное возмущение температуры или концентрации будет не затухать, а возрастать. Как концентрация, так и температура являются примерами "четных" переменных, поскольку знак этих переменных при обращении времени не меняется. Напротив, импульс частиц или конвективная скорость жидкости являются "нечетными" переменными, поскольку они являются производными по времени от переменных типа координаты и меняют знак при обращении времени. Это приводит к следующему общему свойству уравнения эволюции диссипативной системы. Обозначим полный набор макроскопических переменных такой системы  . Эволюция этих переменных во времени будет описываться системой уравнений:

Здесь функции Fi могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных Х и их пространственных производных и явным образом—от пространственных координат r и времени t.       Тогда, если мы совершим операцию обращения времени t'= -t в диссипативной системе, то по меньшей мере одна из функций скоростей  , соответствующая четной переменной    должна содержать инвариантную часть, в то время как функция скорости  , соответствующая нечетной переменной  , должна содержать часть, меняющую знак при обращении времени. Примеры функций скоростей первого класса дают правые части уравнений (1)—(3), примером же второго класса является вклад вязкости в уравнение баланса импульса жидкости, участвующей в конвективном движении.     Как и в случае консервативных систем, для диссипативных систем также можно ввести удобное фазовое пространство. Оно включает в себя ансамбль имеющихся переменных и поэтому становится бесконечномерным пространством в случае непрерывной среды, где различные характеристики являются пространственно распределенными величинами [см. уравнения (2) и (3)]. Поэтому удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных, и в особенности когда это число конечно и, желательно, невелико.

Рис. 1. Представление диссипативной системы в фазовом пространстве, а — система, описываемая одной переменной в соответствии с уравнением (1), б—система с двумя переменными, уравнение (5).

 Например, в случае уравнения (1) фазовое пространство сводится к линии, на которой и находится фазовая траектория (рис. 1, а). Менее тривиальным примером является химическая реакция, описываемая следующей кинетической схемой:

             (4)

Соответствующие кинетические уравнения имеют вид

    (5)

 Фазовые траектории для такой системы показаны на рис. 1, б. Полезно иметь в виду, что некоторые диссипативные системы можно преобразовать к консервативному виду и привести их к гамильтоновой форме. Примером может служить знаменитый механизм Лотки—Вольтерра

                          (6)

В этой системе имеется некоторый нетривиальный интеграл движения, играющий роль "гамильтониана". И все же, несмотря на свой кажущийся консервативный характер, эта система неинвариантна относительно обращения времени, поскольку обе переменные Х и Y являются положительными. Поэтому нет смысла приписывать им свойства, аналогичные импульсу в клас-сической механике, что необходимо для такой инвариантности. Пока еще не рассматривался вопрос о связи между диссипативными и консервативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому.