Причинность в квантовой механике
Квантовая механика по своему существу является статистической теорией. Поэтому судьба отдельной частицы, ее история может быть прослежена только в весьма общих чертах. Как мы видели, в классической механике возникает необходимость время от времени восстанавливать начальные данные, для того чтобы исключить накапливающийся эффект первоначальной ошибки в их определении. В квантовой области этот эффект является уже крайне существенным: частицу можно лишь приближенно локализовать в пространстве, и эта локализация будет ухудшаться с течением времени тем скорее, чем точнее была первоначальная локализация – таково прямое следствие соотношения неопределенностей.
Это обстоятельство нисколько не принижает ценности квантовой механики. Тем более, не следует понимать подчеркивание статистического характера квантовой механики (а это иногда делается) как намек на ее неполноценность или на необходимость искать полностью детерминированную теорию – такой теории может вовсе и не существовать, но разумеется, что никто не должен мешать другому “выдумать порох неподмокаемый”.
Из того, что было сказано выше по поводу иллюзии детерминизма в классической теории, которая еще имеет там свои основания в том, что забывание начальных данных может происходить сравнительно медленно, естественно думать, что эта иллюзия в области микромира становится попросту вредным самообманом. Однако это не означает, что в статистических теориях не имеет места причинность.
Причинность есть определенная форма упорядочения событий в пространстве и времени, и эта упорядоченность накладывает свои ограничения даже на самые хаотические события. В статистических теориях она выражается двояким образом. Во-первых, сами статистические закономерности полностью упорядочены и величины, характеризующие ансамбль, сами по себе строго детерминированы. Во-вторых, индивидуальные элементарные события также упорядочены таким образом, что одно из них может повлиять на другое только в том случае, если их взаимное расположение в пространстве и времени позволяет сделать это без нарушения причинности (т. е. правила упорядочивающего события) .
В
релятивистской теории эти события
должны быть связаны световым сигналом
или
другим
сигналом, распространяющимся со
скоростью, меньшей скорости света. В
нерелятивистской теории, которая сейчас
и рассматривается нами, все скорости
много меньше скорости света. Поэтому
скорость света в нерелятивистской
теории можно считать бесконечно большой
и формально строить теорию таким образом,
как если бы допускались сигналы,
переносящие взаимодействия с бесконечно
большой скоростью. На рис. показана
область влияния в релятивистском и в
нерелятивистском случаях. В последнем
случае каждая точка плоскости
t=0
влияет на точки бесконечно близкой
плоскости
t+dt,
так как световой конус при
развернулся в плоскость.
Поэтому детерминизм в классическом случае означает попросту, что состояние системы в предшествующий момент времени полностью определяет ее состояние в последующий момент времени.
В квантовой теории состояние системы означает ее принадлежность к тому или иному квантовому ансамблю, который характеризуется волновой функцией (чистый случай, или более общо – матрицей плотности). Мы рассмотрим сначала чистый случай.
Так как волновая функция исчерпывающим образом описывает состояние ансамбля, то из изложенного выше понимания принципа причинности следует, что
t
t
C=1
C
x
x
P P
Область влияния событий в точке Р на события при t 0:
а) в релятивистской теории, б) в классической.
последующее состояние ансамбля также должно определяться этой же волновой функцией. Обозначим волновую функцию в момент времени t через . Тогда приращение этой функции d за время dt должно выражаться через саму функцию . Далее, так как волновая функция определена по самому своему смыслу только с точностью до произвольного множителя N, так что и '=N изображают одно и то же состояние (для нормированной функции этот множитель во модулю должен быть равен 1, т. е. N=еi, где и – произвольное действительное число), то связь между dф и ф должна быть линейной. Стало быть
d=L, (6.1)
где L– некоторый линейный оператор. Если обозначить волновую функцию в момент времени t+dt через '=+d, то предыдущее соотношение можно записать в виде:
'=S(dt) ,
где
S(dt) означает некоторую матрицу,
преобразующую
в '.
Ввиду сохранения
dq
эта
матрица должна быть унитарной, т. е.
S+(dt)=S*(dt)=S-1(dt).
Полагая
S=1+Ldt+...,
мы
находим,
что
L=
,
где оператор H является уже эрмитовым
(H*=H+=H),
а постоянная Планка h
введена
в качестве сомножителя из соображений
размерности и соответствия с классической
теорией. Оператор H по самому своему
смыслу является оператором смещения
во времени и называется оператором
Гамильтона. Если оператор Н не зависит
от времени, то он является
попросту
оператором энергии микросистемы.
Из сказанного следует, что уравнение для изменения волновой функции во времени должно быть записано в виде
(6.2)
Это и есть знаменитое уравнение Шредингера, выражающее причинность в квантовой теории. Так как волновая функция полностью описывает квантовый ансамбль, то можно сказать, что уравнение (6.2) описывает движение квантового ансамбля и притом причинным образом, т, е. так, что предыдущее во времени состояние определяет его последующее состояние.
Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики.
М., 1987. С. 5-9, 21-23, 42-45.