Лекция 1: «Множество. Алгебра множеств»

Введем обозначения:

N (или ω) –множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных (вещественных) чисел;

С – множество комплексных чисел.

X R – элемент X принадлежит множеству R.

Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.

A = B – множество А равно множеству B.

Ø – пустое множество.

A C – Множество А является подмножеством множества С.

Если A C и A C, то A C (строго).

Если A C и C A, то A = С.

Пустое множество Ø является подмножеством любого множества.

Универсальное множество (универсум) U содержит в себе все множества и любое множество является подмножеством универсального множества.

Можно записать следующее: Ø N Z Q R C U.

Множества A и B называются эквивалентными (обозначается A~B), если биекция f: A↔B (или по другому y=f(x) и x=f(y), при y A и x B).

Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A (обозначается ).

Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть множество A состоит из n элементов. Это множество называется конечным. Число n называется мощностью данного множества. =n.

Множество натуральных чисел мощность является счетным (т.е. все элементы можно пронумеровать). Если A~N, то мощность =N.

Если A~ , т.е. A={1,2,4,8,…, ,…}, то множество A называется континуальным (или континуумом). Мощность .

Основное правило комбинаторики (показано на примере)

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.

Аналогично с множествами

U = {a₁,a₂… a_n-1, a_n}

Пусть U = {a₁, a₂, a₃}

Выпишем множество всех подмножеств множества U.

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.

Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2ⁿ.

Операции над множествами

Объединение множеств (A B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству A ИЛИ множеству В.
Пересечение множеств (A B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству A и множеству В.
Дополнение множества А. (С = ) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежащие множеству А.