Критерий экстремума имеет вид

dF 4 2W

= λ _стδ _ст = 0,

dδ _ст 3 λ _ст­δ _ст ²

откуда следует

3 3W

δ _ст^опт = . (2.70)

2 λ _ст²

Прежде всего необходимо убедиться, что заданный габарит сечения

h _макс позволяет спроектировать балку, удовлетворяющую условиям прогиба (2.66):

h _мин ≤ h _макс . (2.71)

При обратном знаке неравенства решить поставленную задачу невозможно. В этом случае необходимо изменить расчетную схему, например перейти к схеме неразрезной балки.

Предполагая, что условие (2.71) выполнено, составим пять значений толщины стенки:

δ _{ст мин}, δ _{ст см} , δ _{ст ср}, δ _{ст деф} , δ _{ст опт} . (2.72)

Пусть будет δ _ст – наибольшее значение из этого ряда. Если δ _ст = δ _опт , то искомый экстремум реализован. Если же δ _ст > δ _{ст опт} , то минимум веса конструкции лежит вне интервала допустимых значений δ (рис.2.46).

Масса G

Область

допустимых

значений δ _ст

0 δ _{ст опт} δ _ст

Рис.2.46.К определению минимальной массы балки

В этом случае принимается значение δ _ст на границе указанного интервала, наиболее близкое к δ _{ст опт} .

Далее вычисляем высоту стенки

h _ст = λ _ст δ _ст (2.73)

и проверяем условие h _ст ≤ h _{ст макс} . Если это условие выполнено, то задача решена. Значение δ _ст округляется до 0,2 см, значение h – до 10 см.

Если h _ст > h _{ст макс} , то задача при заданной λ _ст не имеет решения. Поэтому переходим к ближайшему новому значению λ _ст¹ = λ _ст – 10 и вновь повторяем определение δ _{ст ср} , δ _{ст деф} , δ _{ст опт} и т.д. При некотором значении λ _ст¹¹ < λ _ст условие h _ст ≤ h _{ст макс} будет выполнено и задача решена.

Подбор сечений поясов балки начинается с назначения начальных размеров: δ_п^В = δ _п^Н = 1 см, b _п^В = b _п^Н = E (c) – символ целой части числа “с”.

Вычисляются статические характеристики верхнего пояса F₁,

W_y = ( b _п^В )² / 6 и всего сечения в целом F, J, W₁, W₂. Определяется напряжение верхнего пояса σ₁ по формуле (2.62) и вычисляется разность

∆σ₁ = m R – σ₁. (2.74)

Если ∆σ₁ < 0, то принятое сечение верхнего пояса недостаточно, и следует принять

δ _п^В1 = δ _п^В + 0,2. (2.75)

В соответствии с новой толщиной пояса δ _п^В1 назначается новая ширина

b _п^В1 = E (c δ _п^В1). (2.76)

После этого следует перейти к проверке напряжений в нижнем поясе балки.

В случае ∆σ₁ > 0 необходимо рассмотреть две возможности.

При ∆σ₁ > ε сечение верхнего пояса избыточно, поэтому ширина пояса уменьшается на 1 см:

b _п^В1 = b _п^В – 1. (2.77)

Если же ∆σ₁ < ε, то сечение верхнего пояса удовлетворяет условиям прочности и экономичности и в корректировке не нуждается. Здесь ε – малая величина, имеющая размерность напряжения ( можно принять ε = 0,04 т/см²).

Во всех рассмотренных случаях после проверки нормального напряжения в верхнем поясе и корректировки его размеров ( если такая корректировка нужна) следует перейти к проверке напряжений в нижнем поясе.

Вычисляем σ₂ по формуле (2.63) и находим

∆σ ₂ = m R – σ ₂; (2.78)

если ∆σ₂ < 0, то увеличиваем толщину пояса

δ _п ^Н1= δ _п + 0,2, (2.79)

соответственно увеличивая его ширину

b _п^Н1 = E (c δ_п^Н1 ). (2.80)

В случае ∆σ₂ > 0 и одновременно ∆σ > ε ширина нижнего пояса уменьшается:

b _п^Н1 = b _п^Н – 1. (2.81)

При ∆σ₂ < ε сечение нижнего пояса не корректируется.

Скорректированные размеры поясов δ _п^В1, b _п^В1 и δ _п^Н1 , b _п^Н1 определяют новое сечение балки, которое вновь рассматривается как исходное. Вычисляются статические характеристики сечения и определяются напряжения σ₁ и σ₂; в соответствии с результатами проверки формируется новое сечение и т.д.

Процесс последовательного приближения останавливается, как только будут выполнены одновременно два условия:

m R – ε ≤ σ₁ ≤ m R;

(2.82)

m R – ε ≤ σ₂ ≤ m R.