Обозначим

Ψ_П

k = 2 c .

Ψ_СТ

Тогда

М W_ТР

h_ОПТ = k = k , (2.53)

[σ ] δ_СТ δ_СТ

где k- коэффициент, зависящий от конструктивного оформления балки; при постоянном сечении для сварной балки k = 1,15; при переменном сечении для сварной балки k = 1,1.

Так как вторая производная

d ² m M c

= 4 ρ L ψ_П > 0,

dh ² h³ [σ ]

то полученное значение h действительно отвечает минимуму функции

m (h) и является оптимальным по расходу металла.

Одновременно из (2.52)

М с

ρ δ_СТ L ψ_СТ = 2 ρ L ψ_П,

h [σ ]

т.е. m_СТ = 2 m_П.

Таким образом, оптимальна та высота балки, при которой m_СТ = 2 m_П, или F_СТ = 2 F_П.

Проведенный математический анализ является приближенным, так как он не учитывает изменения соотношения между высотой и толщиной стенки при различной высоте балки и, следовательно, не учитывает изменения коэффициента с. Между тем указанное соотношение играет не последнюю роль в вопросе экономичности балки: чем больше h / δ_СТ, тем выгоднее сечение. Однако в реальных условиях это отношение ограничивается необходимостью обеспечить прочность и устойчивость стенки, а также рядом других факторов. Поэтому обычно, меняя в формуле (2.53) δ_СТ, добиваются такой оптимальной высоты балки, при которой выдерживаются установленные практикой проектирования отношения h / δ_СТ.

Оптимальная форма сечения двутавровой сварной разрезной подкрановой балки определяется в известной мере величиной

h _ст

λ _ст = = const. (2.54)

δ _ст

При λ _ст < 80 поперечные ребра жесткости ставятся по конструктивным соображениям и устойчивость стенки обеспечена даже при их отсутствии. В диапазоне 80 < λ _ст < 150 поперечные ребра необходимы для обеспечения устойчивости стенки. Наконец, при λ _ст > 150 требуется постановка, помимо поперечных ребер, также и продольного ребра.

Сечение балки должно удовлетворять всем условиям прочности и деформативности в соответствии со СНиП II – В.3-82. Кроме того, должны быть выдержаны конструктивные требования.

Предполагается, что задана марка стали, ее расчетные сопротивления и все коэффициенты, необходимые для расчета, а также расчетные усилия от вертикальной и горизонтальной нагрузок.

Из числа конструктивных требований для рассматриваемой задачи выделим три основных ограничения:

а) ограничение балки по высоте

h _ст ≤ h _ст^макс , (2.55)

где величина h _ст^макс определяется габаритом балки, условиями транспортабельности или условиями применяемого сортамента металла;

б) ограничение толщины стенки

δ _ст ≥ δ _ст^мин , (2.56)

где наименьшая толщина стенки δ _ст^мин устанавливается по конструктивным соображениям;

в) ограничение ширины поясных листов

b_{1 п} ≤ c δ_1п; b_{2 п} ≤ c δ_2п ,

где b _{1 п}, δ _1п – ширина и толщина верхнего пояса; b _2п , δ _2п – то же, нижнего пояса;

с = 30 2,1 / R ; (2.57)

R – основное расчетное сопротивление.

Сечение балки должно удовлетворять следующим четырем условиям прочности:

а) прочность стенки на смятие

n₁P

σ _СМ = ≤ mR, (2.58)

δ _ст z

где n₁ – коэффициент перегрузки; Р – вертикальное давление катка крана без учета коэффициента динамичности; m – коэффициент условий работы;

3 J_П

z = 3,25 .

δ _ст

Полагая σ _см = mR, находим наименьшую толщину стенки по условию смятия:

a n₁P

δ _{ст СМ} = а ; а = ; (2.59)

J_П 3,25 mR

б) прочность стенки на срез

ξ Q

τ = ≤ m R _СР, (2.60)

h _ст δ _ст

где Q – наибольшая поперечная ила с учетом коэффициента динамичности; R _{с р} – расчетное сопротивление срезу;

S h _ст

ξ = ;

J

S – статический момент полусечения; J – момент инерции поперечного сечения.

Тогда наименьшая толщина стенки по условию восприятия касательных напряжений:

ξ Q

δ _{ст СР} = ; (2.61)

λ _ст m R _СР

в) прочность верхнего пояса

M M_Y N

σ₁ = σ_х + σ_у + σ₀ = + + ≤ m R; (2.62)

W₁ W_Y F₁

г) прочность нижнего пояса

M

σ₂ = ≤ mR. (2.63)

W₂

где М – наибольший изгибающий момент; W₁ и W₂ – соответствующие моменты сопротивления сечения балки.

Условие прочности при τ > 0,4 R

3 σ ²

σ ² + 3 τ ² 1 - ≤ R

4 2R ²

в подкрановых балках всегда выполняется, поэтому специальная проверка этого условия не нужна. Вопросы, связанные с местной устойчивостью стенки, не анализируются.

Расчет по второму предельному состоянию ( по деформациям) ограничивает величину наибольшего прогиба:

f 5 σ_x¹ L f

= ≤ . (2.64)

δ _ст 24 E h _ст L

Здесь σ_х¹ – напряжение верхнего пояса от вертикальной нагрузки без учета коэффициентов перегрузки n и динамичности 1 + μ..

Полагая приближенно

mR

σ_х¹ = и ψ = n (1+ μ ), (2.65)

ψ

находим минимальную по условиям деформативности высоту сечения:

mR L L

h _МИН = . (2.66)

10 ^4­ ψ f

Отсюда определяется минимальная толщина стенки по условию прогиба:

h _МИН

δ _ст^деф = . (2.67)

λ _ст

Определим условие, при котором балка имеет наименьший вес. При этом будем исходить из упрощенной схемы симметричного двутаврового стержня, испытывающего чисто изгибную деформацию (рис.2.45).

Площадь поперечного сечения

F = δ _ст h _ст + 2 F₁,

а момент сопротивления

δ _стh _ст²

W = + F₁ h..

6

F₁

δ _ст

h

F₁

Рис.2.45.Симметричное сечение двутавра

Исключая площадь полки F₁ из этих двух соотношений и заменяя h на λ _ст δ _ст, получаем

2 2W

F = λ _ст­δ _ст² + (2.68)

3 λ _ст δ _ст

Здесь момент сопротивления можно считать величиной постоянной, так как всегда выполняется приближенное соотношение

M

W = . (2.69) mR