2.12.Оптимизация параметров составных балок

При оптимальном проектировании используются методы математического программирования. Для этого строится математическая модель решаемой задачи, включающая в себя целевую функцию (критерий оптимизации), которую нужно минимизировать (максимизировать), и систему ограничений в виде равенств или неравенств. Иногда могут встречаться задачи, ограничения в которых отсутствуют (задачи безусловной оптимизации).

Для стальных конструкций в качестве целевой функции могут быть приняты:

объем

w

С = ∑ ℓ_i F_i; (2.30)

i=1

масса

w

C = ∑ ρ_i ℓ_i F_i; (2.31)

i=1

стоимость материала

w

C = ∑ c_i F_i ℓ_i ρ_i; (2.32)

i=1

(ℓ_i – длина элемента; F_i – площадь элемента; ρ_i – объемная масса элемента;

с_i – стоимость материала i- го элемента), заводская стоимость, приведенные затраты и другие, применяемые в зависимости от класса задач.

Ограничения также диктуются требованиями решаемой задачи и для стальных конструкций могут быть:

Для растянутого элемента

R m F – N ≥ 0; (2.33)

для гибкого элемента

N ≥ 0; (2.34)

для сжатого элемента

φ R m F – N ≥ 0; (2.35)

для изгибаемого элемента на прочность

R m W_min – M_j ≥ 0; (2.36)

для изгибаемого элемента на устойчивость

R m φ_B W_c – M_j ≥ 0; (2.37)

для сжато-изгибаемого элемента на прочность

n

N M_x M_y

1 - + + ≥ 0; (2.38)

F_П R m c_x W_{xП min} Rm c_y W_{yП min} R m ₀

Для сжато-изгибаемого элемента на устойчивость

R m φ_eF – N ≥ 0; (2.39)

по деформативности

∆ f – [ ε ] ≤ 0 (2.40)

и другие. Здесь N – продольная сила; φ – коэффициент продольного изгиба; W – момент сопротивления сечения относительно соответствующих осей; М – изгибающий момент; с – коэффициенты для расчета на прочность с учетом развития пластических деформаций при изгибе; m – коэффициент условий работы; f – прогиб; [ε ] – предельная деформация или перемещение.

В зависимости от вида целевой функции и ограничений используются методы линейного или нелинейного программирования. При линейной целевой функции и ограничениях чаще всего используется симплекс-метод и его модификации.

Окончательно задача математического программирования для проведения оптимизационного поиска имеет вид:

минимизировать (максимизировать)

f (x) → min (max);

при ограничениях

h _i (x) = 0 i = 1,…, J, (2.41)

g _j (x) ≥ , ≤ 0 j = 1,…,.J, (2.42)

x _k ⁽⁴⁾ ≥ x _k ≥ x _k^{( 2)} k = 1,…, J. (2.43)

При создании сварных конструкций необходимо обеспечить два основных противоречивых требования: обеспечить надежность и прочность конструкции и наибольшую экономию материалов.

Задача оптимизации параметров балки по минимуму массы – задача математического программирования, она требует наличия двух компонентов: целевой функции, соответствующей выбранному критерию оптимальности, и системы ограничений, описывающей условия работы балки.

В качестве критерия оптимизации следует выбрать массу балки m_Б. Целевая функция

m_Б → min

или

L

m_Б = ρ ∫ F (x) dx → min,

0

где ρ – плотность материала балки; L – длина проектируемой балки; F(x) – функция изменения площади поперечного сечения балки по ее длине; х – координата положения сечения по длине балки.

Изменение F по длине балки при условии минимизации ее массы соответствует распределению М_ИЗГ по длине. Поэтому многие элементы конструкций имеют переменную по длине форму поперечного сечения.

Для создания конструкции балки минимальной массы необходимо уметь определять параметры поперечного сечения балки, имеющей минимальную площадь. Тогда в качестве целевой функции необходимо использовать

F → min при известном законе распределения напряжений по сечению балки.

Система ограничений выражается в виде следующих условий:

-требования по прочности, устойчивости, жесткости, деформативности и т.п.;

-габаритные ограничения для искомых параметров конструкции;

-ограничения на сортамент проката, марки стали, соединения;

-ограничения на условия изготовления, монтажа или эксплуатации конструкции.

Пусть требуется найти размеры сечения коробчатого элемента минимальной площади при заданных изгибающих моментах относительно осей х и у поперечного сечения ( М _х и М _у ) и известных расчетном сопротивлении материала балки и коэффициенте условий работы m. Для простоты примем, что условия устойчивости балки, стенок и пояса выполняются.

По условию жесткости высота балки не должна превышать размера Н и быть менее Н₁.

Для упрощения рассмотрим действие только двух моментов М _у и М _х и примем δ_С = δ­_П = δ (рис.2.42).

Площадь сечения

F = bh – (b - 2δ) (h - 2δ). (2.44)

bh ³ – (b - 2δ) (h - 2δ) ³

W_X = ,

6h

b³h – (b -2δ) ³ (h - 2δ)

W_Y = .

6b

у

h x

δ_П

δ_С

b

Рис.2.42.К определению размеров коробчатого сечения

Сформулируем задачу оптимизации: при заданной толщине δ листового проката найти значения b и h, при которых площадь сечения F достигает минимума, причем выполняются следующие условия:

6 M _X h 6 M_Yb

+ ≤ R k _y. (2.45)

bh ³ – (b- 2δ) (h - 2δ) ³ hb³ – (h - 2δ) (b - 2δ) ³

h < H, (2.46)

h > H₁. (2.47)

Эта задача относится к классу задач нелинейного программирования.

Ограничение (2.45) определяет условие прочности, ограничение (2.46) – условие соблюдения габарита балки, ограничение (2.47) обусловливает деформативные свойства балки.

Приведем геометрическую иллюстрацию рассматриваемого примера. При этом учтем дополнительные ограничения в соответствии с физическим смыслом задачи, так как переменные b и h не могут быть отрицательными:

b > 0; h > 0. (2.48)

На рис.2.43 кривая 1 соответствует ограничению (2.45), вертикальные прямые 2 – ограничению (2.46), 3 – ограничению (2.47), координатные оси – ограничениям (2.48).

Огибающая ограничений отмечена штриховкой со стороны недопустимой области. В целевой функции для любого значения F переменные b и h связаны линейной зависимостью, так как

F = 2δ (b + h - 2δ).

Поэтому линии одинаковых уровней целевой функции ( на рис.2.43 показаны штриховыми линиями) представляют собой семейство параллельных прямых. Угол их наклона определяется из условия F = 0. Одна из линий этого семейства, касательная к огибающей ограничений , соответствует оптимальному значению целевой функции, а точка касания имеет координаты, равные оптимальному сочетанию b₀ и h₀ .

b

огранич.(3)

огранич. (2)

b₀ огранич. (1)

H₁ h₀ H h

F=0

Рис.2.43.Области ограничений в задаче оптимизации

В реальных условиях необходимо учитывать большое число ограничений и целевая функция может включать большое число переменных аргументов. Кроме того, математические модели ограничения по прочности могут иметь достаточно сложный для «ручного» способа расчета вид. Поэтому целесообразно задачи подобного рода решать на ЭВМ.

Несущая способность балки характеризуется вполне определенным для каждой высоты сечения моментом сопротивления сечения W. В составных балках одно и то же значение W можно получить при различных вариантах компоновки сечения. Следует стремиться к тому, чтобы высота сечения h была оптимальной по расходу металла.

Масса балки m_Б находится в функциональной зависимости от высоты сечения:

m_Б = f (h) → min.

Определим значение аргумента h, отвечающее минимальной величине функции m_Б. Для этого функцию, как известно, необходимо исследовать на экстремум, т.е. найти ее первую производную и приравнять нулю.

Масса балки равна сумме масс стенки и двух поясов:

m_Б = m_СТ + 2 m_П. (2.49)

Масса стенки

m_СТ = ρ h_СТ δ_СТ L ψ_СТ, (2.50)

где ρ – плотность материала; L – длина балки; ψ_СТ > 1 – конструктивный коэффициент стенки, учитывающий превышение ее фактической массы над теоретической из-за наличия ребер жесткости, стыковых накладок, швов и т.п.

Чтобы определить m_П, надо предварительно найти площадь F_П.

Очевидно, изгибающий момент распределяется в поперечном сечении балки между поясами и стенкой пропорционально их моментам инерции.

Тогда

M_П J_П

= = c,

M J

откуда

М_П = М с,

где М_П – изгибающий момент, воспринимаемый поясами; J_П –момент инерции сечения поясов; J – момент инерции всего сечения балки.

С другой стороны (рис.2.44 )

М_П = N_П h,

следовательно,

М_П М с

N_П = =

h_П h_П

и

N_П М с

F_П = = .

[σ ] h_П [σ ]

Отсюда

M c

m_П = ρ F_П L ψ_П = ρ L ψ_П, (2.51)

h_П [σ ]

где ψ_П – конструктивный коэффициент пояса.

N_П

h_СТ h_П М_П

h

N_П

Рис.2.44.Условия нагружения поясов балки

Полагая

h_СТ ≈ h_П ≈ h,

подставим (2.50) и (2.51) в (2.49):

М с

m = ρ h δ_СТ L ψ_СТ + 2 ρ L ψ_П.

h [σ ]

Тогда первая производная

dm М с

= ρδ_СТ L ψ_СТ - 2ρ L ψ_П = 0, (2.52)

dh h ² [σ ]

или после сокращения на ρ L

М с

δ_СТ ψ_СТ – 2 ψ_П = 0,

h ² [σ ]

откуда

ψ_П М с

h_ОПТ = 2 .

ψ_СТ [σ ]δ_СТ