41)Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x0 ,  f ( x0 ) ),  x0   ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x0 ,  f ( x0 ) ),  x  ( a, b ).

42)Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка   – точка перегиба функции   и если   в некоторой окрестности точки   (непрерывная в точке  ), то  .

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что  . Тогда   либо . По условию   непрерывна в точке     по свойству сохранения знака непрерывной функции получим:  :  ,  , т.е по достаточному условию строгой выпуклости     (функция выпукла вниз) или    (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку   направление выпуклости меняется.

43)Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция   непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если   меняет знак при переходе через точку  , то точка   –  точка перегиба функции  .

Доказательство

Пусть   меняет знак с “-” на “+”, тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция   на интервале   ф-ця будет строго выпукла вверх, на интервале   – строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку  направление выпуклости изменяется   по определению  – точка перегиба.

44)Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная асимптота прямая вида    при условии существования предела

Наклонная

Наклоннаяасимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при   (или  ) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела , то наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  , из этого следует что: Функция не может иметь наклонную асимптоту одновременно с горизонтальной при  , аналогично для 

45) Первообразной для функции  f  называется такая функция  F,  производная которой равна данной функции.