3.Многогранники и конус.

Определение.

Пирамида называется вписанной в конус, а конус - описанным около пирамиды, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.

Определение.

Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около усеченной пирамиды, если основание пирамиды вписаны в основания конуса.

Около пирамиды (усеченной пирамиды) можно описать конус (усеченный

конус), если и только если выполняется любое из условий:

- боковые ребра пирамиды равны;

- боковые ребра равно наклонены к плоскости основания;

- около основания пирамиды можно описать окружность, центр которой- основание высоты пирамиды (около оснований усеченной пирамиды можно описать окружности, линии центров которых перпендикулярна их плоскостям).

Определение.

Пирамида называется описанной около конуса, а конус - вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают и основание пирамиды описано около основания конуса .

Определение.

Усеченная пирамида называется описанной около усеченного конуса, а усеченный конус вписанным в усеченную пирамиду, если основания пирамиды описаны около оснований конуса.

В пирамиду (усеченную пирамиду) можно вписать конус (усеченный конус), если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой является основанием высоты пирамиды (в основания усеченной пирамиды можно вписать окружности, линия центров которых перпендикулярна основаниям).

Около всякой правильной пирамиды можно описать и во всякую правильную пирамиду можно вписать конус, около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать и во всякую правильную усеченную пирамиду можно вписать усеченный конус.

Определение.

Призма называется вписанной в конус ( усеченный конус), а конус (усеченный конус) - описан около призмы, если одно основание призмы лежит на основании (на большем основании усеченного) конуса, а второе основание призмы вписано в сечение конуса плоскостью этого основания (в верхнее основание усеченного конуса).

Во всякий конус можно вписать сколько угодно различных призм.

Определение.

Призма называется описанной около конуса (усеченного конуса), а конус (усеченный конус) - вписанным в призму, если основание призмы описано около окружности основания (около окружности большего основания усеченного) конуса и вершина (все точки меньшего основания усеченного конуса) принадлежат второму основанию призмы.

Около всякого конуса можно описать сколь угодно различных призм.

Определение.Пирамида называется вписанной в усеченный конус, а усеченный конус - описанным около пирамиды, если основание пирамиды вписано в одно основание усеченного конуса и вершина пирамиды лежит на втором основании конуса.

В усеченный конус можно вписать сколь угодно пирамид.

Определение.

Пирамида называется описанной около усеченного конуса, а конус - вписанным в пирамиду, если одно основание конуса принадлежит основанию пирамиды , а другое основание конуса вписано в сечение пирамиды плоскостью этого основания (или и другое основание конуса касается всех боковых граней пирамиды).

Определение.

Конус называется вписанным в усеченную пирамиду, а пирамида - описанной около конуса, если основание конуса вписано в одно из оснований усеченной пирамиды, а вершина конуса лежит на втором основании пирамиды (42).

Конус можно вписать в усеченную пирамиду, если и только если в основание пирамиды можно вписать окружность, ось которой пересекает другое основание усеченной пирамиды.

Определение.

Конус называется описанным около усеченной пирамиды, а пирамида- вписанной в конус, если одно основание усеченной пирамиды принадлежит основанию конуса и ее другое основание вписано в сечение конуса плоскостью этого основания.

Около усеченной пирамиды можно описать конус, если и только если около основания пирамиды можно описать окружность.

Во всякую усеченную пирамиду можно вписать два конуса и около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать бесконечное множество конусов.

Возможны иные комбинации конусов и многогранников. Тогда в каждой конкретной задаче на это указывается.

Если цилиндр, конус, усеченный конус вписаны соответственно в призму, пирамиду, усеченную пирамиду, то каждая боковая грань описанного многогранника касается вписанного тела вращения по образующей, которая в то же время является высотой этой боковой грани и проходит через точки касания соответствующих сторон оснований многогранника с окружностью основания тел вращения. Оси названных тел вращения лежат на линии пересечения биссекторов двугранных углов при боковых ребрах перечисленных многогранников.

Если цилиндр, конус, усеченный конус описаны соответственно около призмы, пирамиды, усеченной пирамиды, то каждое боковое ребро многогранника является образующей соответствующего описанного тела вращения. Всякая точка оси тел вращения равноудалена от всех боковых ребер вписанных соответствующих многогранников.