4.5. Сферы, описанные около цилиндра, конуса и усеченного конуса.

Определение. Сфера называется описанной около цилиндра или усеченного конуса, если все точки окружностей оснований принадлежат сфере; Сфера называется описанной около конуса, если все точки окружности основания, а также вершина конуса принадлежат сфере.

В этих случаях говорят, что цилиндр, усеченный конус или конус вписан в сферу.

Теорема 1. Около произвольного цилиндра можно описать сферу.

О₁ и О₂ – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О₁О₂ перпендикулярна плоскостям основания. Проведем плоскость, проходящую через середину образующей цилиндра, перпендикулярно этой образующей. Эта плоскость будет параллельна плоскостям основания и пересекать прямую О₁О₂ в точке О, которая и будет являться центром сферы, описанной около цилиндра. Расстояние от точки О до всех точек основания будет равным, так как О₁О₂ является ГМТ, равноудаленных от окружности (прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярна плоскости окружности). Значит точка О является центром сферы с радиусом ОА, описанной около цилиндра.

Теорема 2. Около усеченного конуса можно описать сферу.

О₁ и О₂ – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О₁О₂ перпендикулярна плоскостям основания. Рассмотрим образующую усеченного конуса АВ. Найдем ГМТ, равноудаленных от тачек А и В. Им будет являть плоскость, проходящая через точку Р – середину АВ и перпендикулярная этой прямой. Эта плоскость пересечет О₁О₂ в точке О, которая будет равноудалена от точек А и В. Также очевидно, что точка О будет равноудалена от все точек оснований усеченного конуса. Следовательно эта точка О будет являться центром сферы с радиусом ОА, описанной около усеченного конуса.

Теорема 3. Около конуса можно описать сферу.

Аналогично прошлой теореме ОА – высота конуса, которая является ГМТ, равноудаленных от окружности. Рассмотрим образующую АВ и найдем ГМТ, равноудаленных от А и В. Полученная плоскость (по предыдущей задаче) пересечет ОА в точке О₁, которая будет равноудалена от точек А и В, как и от любых точек основания конуса. Таким образом мы получили, что точка О₁ является центром сферы с радиусом О₁А, описанной около конуса.

Сфера, вписанная в цилиндр, конус и усеченный конус.

Определение. Сфера называется вписанной в цилиндр, конус, усеченный конус, если каждая образующая цилиндра, конуса, усеченного конуса является касательной к сфере, а каждая плоскость основания цилиндра, конуса, усеченного конуса касается сферы в точке, лежащей внутри основания.

В этом случае говорят, что цилиндр, конус, усеченный конус описаны около сферы.

Теорема 1. Существует сфера, вписанная в конус.

Нам нужно доказать, что в конус можно вписать сферу. Так как нам известно, что конус симметричен относительно любого сечения, проходящего через его высоту, то мы, если докажем, что в любое такое сечение можно вписать окружность (центр у всех окружностей один и тот же), то докажем, что в конус можно вписать сферу.

Рассмотрим сечение конуса, проходящее через высоту конуса.

Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием ВС. Высота ОА будет являться также и биссектрисой. Следовательно центр вписанной окружности О₁ будет находиться на ОА (вписать окружность можно, как известно, в любой треугольник). А так как все остальные рассматриваемые сечения будут равны АВС, то следовательно, и центры вписанных окружностей будут совпадать. Значит в конус можно вписать сферу с центром О₁ и радиусом ОО₁.

Теорема 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру оснований.

Здесь рассматриваются сечения, которые будут являться прямоугольниками. Окружность можно вписать только в квадрат, отсюда и вытекает условие, что высота равна диаметру основания.

Теорема 3. В усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его образующая равна сумме радиусов оснований.