1. Оптимальный план транспортной задачи. Метод потенциалов.

Метод потенциалов. Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи этим методом аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно: сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

    Теорема 12.2 (критерий оптимальности). Для того чтобы допустимый план перевозок   в транспортной задаче был оптимальным,  необходимо  и достаточно, чтобы существовали такие числа    и   , что

                                                                         (12.4)

                                                                         (12.5)

Числа   и     называют потенциалами пунктов отправления   и назначения   соответственно.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план. Для этого плана, в котором m + n – 1 базисных клеток, можно определить потенциалы   и   так, чтобы выполнялось условие (12.4). Поскольку система (12.4) содержит m + n – 1 уравнений и m+ n неизвестных, то одну из них можно задать произвольно (например, приравнять к нулю). После этого из m + n – 1 уравнений (12.4) определяются остальные потенциалы и для каждой из свободных клеток вычисляются величины  . Если оказалось, что  , то план оптимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке  , то план не является оптимальным и может быть улучшен путем переноса по циклу, соответствующему данной свободной клетке.

Циклом в таблице условий транспортной задачи, называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья – вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое – в столбце. Если ломаная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами.

Процесс улучшения плана продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (12.5).

Пример. На три базы   поступил однородный груз, который требуется перевезти в четыре пункта назначения  . Тарифы перевозок, запасы и потребности указаны в таблице 12.3. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Таблица12.3

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	7	8	1	2		160
	4	5	9	8		140
	9	2	3	6		170
Потребности	120	50	190	110

 Имеем задачу с правильным балансом, так как суммарный объем запасов (470) равен суммарному объему потребностей (470).

 Пусть   – количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Составим математическую модель задачи:

при условиях

       Для определения опорного плана воспользуемся методом северо-западного угла, методом наименьшей стоимости (минимального элемента) и методом двойного предпочтения.

1. Метод северо-западного угла.

Процесс получения плана можно оформить в виде таблицы:

					Запасы
	120	40	–	–	160	40	0	0	0	0
	–	10	130	–	140	140	140	130	0	0
	–	–	60	110	170	170	170	170	170	0
Потребности	120	50	190	110
	0	50	190	110
	0	10	190	110
	0	0	190	110
	0	0	60	110
	0	0	0	0

План   – невырожденный,   .

         2. Метод наименьшей стоимости.

					Запасы
	7 –	8 –	1 160	2 –	160	0	0	0	0	0
	4 120	5 –	9 –	8 20	140	140	140	140	20	0
	9 –	2 50	3 30	6 90	170	170	120	90	90	0
Потребности	120	50	190	110
	120	50	30	110
	120	0	30	110
	120	0	0	110
	0	0	0	110
	0	0	0	0

План   – невырожденный,   .

         3. Метод двойного предпочтения.

					Запасы
	7 –	8 –	√√1 160	√2 –	160	0	0	0	0	0
	√√4 120	5 –	9 –	8 20	140	140	140	20	20	0
	9 –	√√2 50	3 30	6 90	170	170	120	120	90	0
Потребности	120	50	190	110
	120	50	30	110
	120	50	30	110
	120	0	30	110
	0	0	0	110
	0	0	0	0

 План   – невырожденный,  .

Проверим план   на оптимальность методом потенциалов.

Добавим в распределительную таблицу столбец   и строку  :

	7	8	1 160	2
	4 120	5	9	8 20
	9	2 50	3 30	6 90

Составим систему уравнений  ,  ,   для занятых клеток:

Предположим, что  =0, тогда  =1,  =2,  =0,  =4,  =4,  =0.

Составим матрицу косвенных тарифов

и сравним ее элементы с соответствующими элементами матрицы тарифов. Имеем  , следовательно, план не оптимален. Его можно улучшить, если осуществить перевозку нескольких единиц груза   с первой базы четвертому потребителю.

Для перераспределения перевозок строим цикл (замкнутую ломаную линию, начинающуюся в клетке с  ,  остальные вершины которой располагаются в заполненных клетках).

7	8	1 160 –	*           2    +
4 120	5	9	8 20
9	2 50	3 30  +	-          6 90

 

 Вершины цикла помечаем знаками (+) и (–), начиная с (+) в свободной клетке.

        Находим количество груза   и перераспределяем перевозки, добавляя 90 единиц груза в клетки со знаком (+) и вычитая 90 из клеток со знаком (–).

В результате получаем невырожденный план  ,  .

Проверим план   на оптимальность.

Добавим в распределительную таблицу столбец   и строку  :

	7	8	1 70	2 90
	4 120	5	9	8 20
	9	2 50	3 120	6

        Найдем значения потенциалов из системы уравнений

        Пусть  =0, тогда  =1,  =2,  =2,  =0,  =6,  =-2.

Составим матрицу косвенных тарифов

.

и сравним ее элементы с элементами матрицы тарифов.

Получили, что  , следовательно, план не оптимален.

Перераспределим перевозки, осуществив поставку груза со второй базы второму потребителю. Для этого строим цикл с началом в клетке (2; 2):

7	8	1 70       –	2 90  +
4 120	+ 5  *	9	– 8 20
9	- 2 50	+      3 120	6

  .

Составляем новый план  . Затраты на перевозку по данному плану составят  .

Проверим план   на оптимальность.

	7	8	1 50	2 110
	4 120	5 20	9	8
	9	2 30	3 140	6

Значения потенциалов найдем из системы

Пусть  =0, тогда  =1,  =2,  =2,  =0,  =5,  = –1.

Составим матрицу косвенных тарифов и сравним ее с  матрицей тарифов:

.

Так как  ,  ,  , то план   является оптимальным и минимальные затраты на перевозку составляют 1330 у.е.

Ответ:  ,  .

Замечание. Как  правило, применение метода аппроксимации Фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальному, либо сам оптимальный план. 

Найдем первоначальный опорный план данной задачи методом  аппроксимации Фогеля.

												Запасы      Столбец-разность
	7 –		8 –				1 50			2 110		160		1		<6>		к
	4 120		5 20				9 –			8 –		140		1		1		1		1		1
	9 –		2 30				3 140			6 –		170		1		1		1		<7>		к
Потребности	120		50				190			110
Строка- разность	3		3				2			<4>
	3		3				2			к
	5		3				<6>
	5		3				к
	к		к

        План – невырожденный:  , в данной задаче он является оптимальным.