2.Матричные игры. Цена игры. Оптимальные стратегии
Билет № 4
1.Стандартная (каноническая) задача (лп) и ее геометрическая интерпретация.
Геометрическая
интерпретация задачи
линейного
программирования
Рассмотрим стандартную задачу
линейного программирования, система
ограничений которой задана в
форменеравенств.
Найти экстремум целевой функции
(8.40)
при
ограничениях
(8.41)
.
(8.42)
Допустимым
решением (или допустимым
планом)
задачи линейного программирования
называется любое решение 
,
удовлетворяющее системе ограничений
(8.41) и условиям неотрицательности (8.42).
Множество допустимых решений (планов)
задачи образует область
допустимых решений –
ОДР. Термины «решение» и «план» –
синонимы. Термин «решение» используется,
обычно, когда говорят о математическом
решении задачи. Термин «план» используется,
когда говорят о содержательной
экономической интерпретации задачи.
Если
система (8.41) при условии (8.42) имеет хотя
бы одно решение, она называется совместной,
в противном случае – несовместной.
Рассмотрим сначала частный случай
совместной системы (8.41) при 
:
(8.43)
.
(8.44)
Каждое неравенство системы
(8.43) на плоскости Ox1x2 геометрически
определяет полуплоскость с граничной
прямой
.
(8.45)
Ус
ловия
(8.44) определяют первый квадрант с
граничными прямыми 
и 
,
совпадающими с осями Ox1 и Ox2.
Для
совместной системы (8.43) указанные
полуплоскости, как выпуклые множества,
пересекаясь, образуют общую часть в I-м
квадранте, которая является выпуклым
многоугольником решений – ОДР
(рис.70).
В частных случаях
многоугольник может вырождаться в
точку, отрезок, луч или неограниченную
многоугольную область.
Если в
совместной системе ограничений (8.41) и
(8.42) 
,
она принимает вид:
(8.46)
.
(8.47)
Каждое неравенство системы
(8.46) геометрически определяет
полупространство трёхмерного
пространстваOx1x2x3,
граничная плоскость которого есть
.
(8.48)
Условия (8.47) определяют 1-й
октант с граничными плоскостями 
совпадающими
с координатными плоскостями.
Если
система ограничений (8.46) и (8.47) совместна,
то эти полупространства, как выпуклые
множества, пересекаясь, образуют в 1-м
октанте общую часть, которая
образует выпуклый
многогранник решений – ОДР.
В частных случаях многогранник решений
может вырождаться в точку, отрезок, луч
или в многогранную неограниченную
область.
Если в системе ограничений
(8.41) имеем 
,
то каждое её неравенство определяет
полупространство n –мерного
пространства с граничной гиперплоскостью
,
(8.49)
а ограничения 
определяют
полупространства с граничными
гиперплоскостями 
,
совпадающими с координатными.
Если
система ограничений (8.41) и (8.42) совместна,
то она образует общую часть n –
мерного пространства,называемую
выпуклым n –
мерным многогранником.
Таким
образом, геометрически стандартная задача
линейного программирования с ограничениями
в виде неравенств заключается в отыскании
такой точки многогранника решений,
координаты которой доставляют линейной
целевой функции 
формулы
(8.40) экстремальное значение. При этом
все точки выпуклого многогранника
являются допустимыми решениями.