2.Теория графов Календарное планирование

Сетевой анализ –

• это метод планирования работ проектного характера, то есть работ, операции, в которых, как правило, не повторяются

Теория графов суть:

Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, карта автомобильных дорог представляет интерес только тем, имеются ли связи между некоторыми населенными пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и др. подробностей

3. Оценка потреб-

ностей каждой

операции

в ресурсах

2. Оценка продол-

жительности

выполнения

каждой опера-

ции, состав-

ление кален-

дарного плана

Этапы анализа проектов –

1. Расчленение

проекта на ряд

операций,

из которых

затем состав-

ляется логи-

ческая схема

Билет № 3

1.Двойственность и эквивалентность задач лп.

Теория двойственности представляет собой весьма важное, как с чисто теоретической, так и с практической точки зрения, направление математического программирования. Основной идеей теории двойственности является то, что для каждой задачи линейного программирования (ЛП) существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с решением прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения задач ЛП и проверке оптимальности допустимого решения.  Рассмотрим задачу: найти min f(x), x Є Rⁿ (1)  при ограничениях g_j( x)≤ 0, j = 1, m; m<n.                   Эту задачу называют прямой. Существует связанная с ней задача максимизации, называемая  двойственной:  L(x,λ) = max  , (2)  где L(x,λ) – функция Лагранжа.  Понятие двойственности устанавливает определенные отношения между решениями прямой и двойственной задач.  Определение. Две экстремальные задачи называются эквивалентными, если множества их решения совпадают, либо обе задачи не имеют решений.

Двойственность

Теория двойственности представляет собой фундаментальное понятие в математическом программировании, имеющее теоретическое и практическое значение.  Основная идея теории двойственности: для каждой задачи ЛП существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения ЗЛП и проверке оптимальности допустимого решения.  Двойственная задача к ЗЛП в стандартной форме: рассмотрим ЗЛП (в стандартной форме)  min Z = C*X,  A*X = B,  X ≥ 0   (П) Прямая задача.  Каждому i–му (i = 1,m) ограничению поставим в соответствие переменное u_i, положительное, отрицательное или нуль (называемое двойственным переменным), и рассмотрим ЗЛП.  max W = U*B  U* A^T ≤ C, A^T*U ≤ C  (Д) Двойственная задача  где U есть, так называемый, вектор–строка (u₁, u₂, …, u_m).  Линейная задача (Д) тесно связана с линейной задачей (П):  - матрица ограничений (Д) есть транспонированная матрица задачи (П);  - вектор "цен"   для задачи (П) есть вектор правых частей ограничений задачи (Д) и наоборот.  Данная таблица соответствий между прямой и двойственной задачами позволяет  записать непосредственно двойственную задачу для любой линейной задачи.  Таблица

Прямая	Двойственная
Целевая функция (min)	Правая часть ограничений
Правая часть ограничений	Целевая функция (max)
A – матрица ограничений	AT – матрица ограничений
i–ое ограничение: ≥ 0, (≤0)	Переменная ui ≥ 0, (≤0)
i–ое ограничение: = 0	Переменная ui ≠ 0
Переменная x ≥ 0	j–ое ограничение: ≤ 0
Переменная x ≠ 0	j–ое ограничение: = 0

Замечание: двойственная к двойственной задаче совпадает с прямой.

Пример:           т.е. вторая переменная не ограничена по знаку, она может быть как больше 0, так и меньше 0.  Построим двойственную задачу. Так как число ограничений равно трем, то имеем три переменных: u₁, u₂, u₃. ЦФ задачи (Д) имеет вид:  max W = U*B = u₁b₁ + u₂b₂ + u₃b₃  = u₁ + 4u₂ + 3u₃  В прямой задаче имеем матрицу А: .  В задаче (Д) имеем транспонированную матрицу:  .  Таким образом, двойственная задача выглядит так:  max W = u₁ + 4u₂ + 3u₃    Теорема двойственности. Если X и U - соответственно допустимые решения произвольных прямой и двойственной задач, то Z = C*X ≥ W = U*B.  Следствие из теоремы. Если X^*, U^* - соответственно решения прямой и двойственной задач, удовлетворяющих равенству C*X^* = U^*B, то планыX^* и  U^*–оптимальные решения прямой и двойственной задач соответственно.  Теорема. Пусть заданы прямая и двойственная задачи:  а) если прямая и двойственная задачи имеют решения, то каждая из этих задач имеет оптимальное решение и  Z^* = min(П) = max(Д) = W^*  б) если одна из них имеет неограниченный оптимум, то другая не имеет решения.  Теорема. Два решения (X и U) соответственно прямой и двойственной задач оптимальны тогда и только тогда, если выполняется условие:   (U* A_j - c_j)*x_j = 0; j = 1, n,  где A_j  –  j–й столбец матрицы A.