1. Основные понятия теории графов. Критический путь

Во многих прикладных задачах изучаются системы связей между различными объектами. Объекты называются вершинами и отмечаются точками, а связи между вершинами называются дугами и отмечаются стрелками между соответствующими точками (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1

Такие системы и образуют графы. Граф может изображать сеть улиц в городе: вершины графа – перекрестки, а дуги – улицы с разрешенным направлением движения (улицы могут быть с односторонним и двусторонним движением). В виде графов можно представить блок – схемы программ (вершины – блоки, а дуги – разрешенные переходы от одного блока к другому), электрические цепи, географические карты и молекулы химических соединений, связи между людьми и группами людей. Перейдем к точным определениям. граф структура компонент антибаза

Графом называется алгебраическая система G = (М, R), где R – двухместный предикатный символ. Элементы носителя М называются вершинами графа G, а элементы бинарного отношения R  М2 – дугами. Таким образом, дугами являются пары вершин (a, b)  R. При этом дуга (a, b) называется исходящей из вершины а и заходящей в вершину b.

Изображение графа G = (М, R) получается путем расположения различных точек на плоскости для каждой вершины a  М, причем если (а, b)  R, то проводится стрелка (дуга) из вершины а к вершине b.

Пример: Изображение графа G с множеством вершин М

{1,2,3,4} и множеством дуг R = {(1,1), (1,2), (2,3),(3, 4), (4,3), (4,1)} представлено на рисунке 1.1.

При задании графа для нас не имеет значения природа связи между вершинами а и b, важно только то, что связь существует и информация о связях содержится во множестве дуг R. Однако часто возникают ситуации, при которых такой информации оказывается недостаточно, например, в случаях, когда имеется несколько дуг, исходящих из вершины а и заходящих в вершину b, такие дуги называются кратными (рисунок 1.2). Тогда используется понятие мультиграфа.

Рисунок 1.2

Мулътиграфом G называется тройка (М, U, P), в которой М – множество вершин, U – множество дуг, а Р  МUМ – трехместный предикат, называемый инцидентором и представляемый следующим образом: (a, u, b)  P тогда и только тогда, когда дуга и исходит из вершины а и заходит в вершину b. Отметим, что любой граф можно представить в виде мультиграфа.

Граф G = (M, R) называется ориентированным (орграфом), если найдется дуга (а, b)  R такая, что (b, а)  R. Если же отношение R симметрично, т. е. из (а, b)  R следует (b, а)  R, то граф G называется неориентированным (неорграфом). Если одновременно пары (а, b) и (b, а) принадлежат R (рисунок 1.3, а), то информацию об этих дугах можно представить множеством [а, b] = {(а, b), (b, а)}, называемым ребром, которое соединяет вершины а и b. При этом вершины а и b называются концами ребра [а, b]. Ребра изображаются линиями (без стрелок), соединяющими вершины (рисунок 1.3, б).

Рисунок 1.3

Если в мультиграфе вместо дуг рассматриваются ребра, то мультиграф также называется неориентированным. Отметим, что если в орграфе G = (М, R) к каждой дуге (а, b)  R добавить пару (b, а), то в результате образуется неорграф, который будем называть соответствующим данному орграфу G и обозначать через F(G).

Пример: Орграфу G, изображенному на рисунке 1.1, соответствует неорграф F(G), изображенный на рисунке 1.4.

Рисунок. 1.4

Информация о структуре графа может быть задана матрицей бинарного отношения. Пусть G = (М, R) – граф, в котором множество вершин имеет n элементов: М = {a1, a1, …, an}. Матрицей смежности АG = (Aij) графа G называется матрица порядка n, определенная следующим образом:

Если Аij = 1, то вершина аj называется последователем вершины аi, а аi – предшественником аj. Вершины аi и аj называются смежными, если Aij = 1 или Aji = 1.

Если G – мультиграф, то в матрице смежности AG элемент Аij по определению равен числу дуг, исходящих из вершины аi и заходящих в вершину аj (i, j  {1, ..., n}).

Рисунок 1.5

Граф G, изображенный на рисунке 1.1.5, имеет матрицу смежности

Отметим, что если G – неорграф, то матрица смежности AG симметрична, т. е. не меняется при транспонировании: .

Петлей в графе G называется дуга, соединяющая вершину саму с собой. Если G – граф без петель, то в матрице смежности AG по главной диагонали стоят нулевые элементы:

Теорема 1. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одновременными перестановками строк и столбцов (т.е. одновременно с перестановкой i - й и j - й строк переставляются i - й и j - е столбцы).

Согласно этой теореме по матрице смежности граф восстанавливается однозначно с точностью до изоморфизма.

В графе G = (М, U, Р) дуга u  U называется инцидентной вершине а  М, если (а, u, b)  Р или (b, u, а)  Р для некоторого b  М. Если М = {a1, ..., am}, U = {u1, ..., un}, то матрицей инцидентности BG = (Вij) мультиграфа G называется матрица размера m*n, определяемая по следующему правилу:

Рисунок. 1.6

Пример: Мультиграф G, изображенный на рисунке 1.6, имеет матрицу инцидентности

Мультиграфы G = (M, U, P) и G' = (M', U', P') называются изоморфными, если существуют биекции : М  М' и : U  U' такие, что (a, u, b)  Р тогда и только тогда, когда ((a), (u), (b))  P’.

Аналогично теореме 1 справедлива

Теорема 2. Мультиграфы G и G' изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга некоторыми перестановками строк и столбцов.