2. Системы массового обслуживания с ожиданием.

Одноканальная СМО с ожиданием Исследуем одну из самых простых СМО с ожиданием. Это одноканальная система  , которая предполагает целый поток заявок с интенсивностью  . Интенсивность обслуживания —  . Это означает, что постоянно занятый канал способен в среднем выпускать  обслуженных заявок за определенную единицу времени. В случае, если канал занят, новая заявка в очереди ждет моментаобслуживания.

 

Система с ограниченной длинной очереди. Допустим, что число  ограничивает число мест в очереди. Это означает, что если новая заявка поступит при наличии в очереди  заявок, то ее обслуживания не последует. В дальнейшем, приближая   к бесконечности, возможно определение состояния СМО, при этом нет никаких ограничений длины очереди.

Пронумеруем состояние СМО в соответствии с количеством заявок системы (которые обслуживаются и находятся в режиме ожидания):

- свободный канал;

- канал занят, очереди нет;

- канал занят при наличии одной очередной заявки;

…

- канал занят при  заявок в очереди;

…

заявок в очереди.

На рисунке 5.8. продемонстрирован ГСП. Каждый из интенсивностей потоков событий, переводящих по стрелкам слева направо в систему, равны  и наоборот —  . Получается, что систему по стрелкам слева направо переводит поток заявок, справа налево — поток «освобождений» занятого канала, интенсивность которого составляет .

 Рис. 5.8. Одноканальная СМО с ожиданием  

5.8. — это своего рода схема размножения и гибели. Применяя общее решение (5.32)-(5.34), представим выражения для предельных вероятностей состояний:

 

(5.44)

 

или применяя  :

(5.45)

 

В последней строке в (5.45) имеется геометрическая прогрессия с первым членом 1, знаменатель ее равен  . Теперь:

(5.46)

соответственно, предельные вероятности имеют такой вид:

(5.47)

 

(5.46) могут быть так представлены только при условии , а при  обеспечена неопределенность вида 0/0. Сумма геометрической прогрессии, знаменатель которой  , равна  , тогда 

Определим состояние СМО, а именно:

1. вероятность отказа  ;

2. относительную пропускную способность  ;

3. абсолютную пропускную способность  ;

4. среднюю длину очереди  ;

5. среднее число заявок, связанных с системой  ;

6. среднее время ожидания в очереди  ;

7. среднее время пребывания заявки в СМО  .

Вероятность отказа. Совершенно ясно, что заявке отказано при условии, что канал занят, очередь предполагает наличие  мест :

(5.48)

Относительная пропускная способность:

(5.49)

 

Абсолютная пропускная способность:

 

 

Средняя длина очереди. Определим среднее число   очередных заявок, как математическое ожидание дискретной случайной величины  - количества очередных заявок:

 

 

При вероятности  заявок и т.д. Тогда:

(5.50)

 

Из-за того, что  от суммы геометрической прогрессии:

 

 

Среднее количество заявок, находящихся в системе. Имеем формулу для среднего числа  заявок (очередных и обслуживающихся), которые имеют отношения к системе. Из-за того, что  определено, необходимо только узнать  . Так как существует только один канал, количество обслуживаемых заявок равняется 0 при наличии вероятности  и 1 при наличии вероятности  , поэтому:

 

 

и среднее число заявок, которое имеет отношение к СМО:

(5.52)

 

Среднее время ожидания заявки в очереди. Примем его за  . В случае, если в систему поступает заявка в определенный момент времени, то при наличии вероятности  канал обслуживания будет свободным, соответственно, этой заявке не надо будет находиться в очереди, так как  . При наличии вероятности  заявка появится в системе в процессе обслуживания какой-либо заявки. Перед этой заявкой очереди не возникнет и она будет ожидать начала обслуживания в системе на протяжении временного отрезка  . Это и есть среднее время обслуживания одной заявки. При наличии вероятности  , перед очередной заявкой будет стоять еще одна на протяжении временного отрезка  . Соответственно, это среднее времяобслуживания одной заявки для вероятности  .

В том случае, если  заявок; вероятность такой ситуации  ), то заявка не становится очередной, и, как следствие, не обслуживается. В результате время равно нулю. Тогда среднее время ожидания будет равно:

 

 

если использовать здесь выражения для вероятностей (5.47), то

(5.53)

 

 

В данном случае применены соотношения (5.50), (5.51), это и есть производная геометрической прогрессии), и  из (5.47).

При сравнении данного и (5.51) выражений можно увидеть:

(5.54)

 

другими словами, среднее время ожидания эквивалентно среднему числу очередных заявок, которое является кратным на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе. Пусть  и среднего времениобслуживания  . В случае, если системная загрузка равняется 100%, то  , иначе

 

Следовательно,

 

Пример 5.6. АЗС может быть представлена в качестве СМО с одним каналомобслуживания. В данном контексте это одна колонка. На площадке автозаправочной станции может поместится не более трех очередных машин, следовательно  . Соответственно, при наличии на площадке трех машин, вновь прибывшая четвертая в очередь не становится. Интенсивность потока прибывающих машин может представлена в таком виде  или 1 маш./мин. Заправка одной машины занимает в среднем 1,25 мин.

Найти:

1. вероятность отказа:

2. относительную и абсолютную пропускную способность автозаправочной станции;

3. среднее количество очередных машин;

4. среднее время нахождения машины на АЗС, в том числе обслуживание.

Для начала определим приведенную интенсивность потока заявок:

 

В соответствии с формулами (5.47):

 

 

При этом вероятность отказа 

Относительная пропускная способность СМО

 

 

Абсолютная пропускная способность СМО может быть представлена в таком виде:

 

 

Определим среднее число очередных машин, используя формулу (5.51):

 

,

 

это означает, что среднее число очередных машин равно 1,56.

Если прибавить к данному значению среднее число обслуживаемых машин

 

 

то определим среднее число машин, относящихся к АЗС.

Найдем среднее время ожидания очередной машины, используя формулу (5.54)

 

 

Если прибавить к данному значению

то определим среднее время нахождения машины на АЗС.

 

Системы с неограниченным ожиданием. Значение  в подобных системах является неограниченным. Соответственно, базисные характеристики могут быть определены посредством предельного перехода ( ) в прежде сформулированных выражениях (5.44), (5.45) и т.д.

Следует также отметить, что знаменатель в заключительной формуле (5.45) представлен в качестве суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма имеет соответствие при условии, что прогрессия является бесконечно убывающей. Это означает, что сумма сходится при 

Представляется возможным доказать, что  - условие, которое предполагает существование с ожиданием предельного установившегося режима в СМО. Другие условия не предусматривают данного режима, а очередь  будет бесконечно возрастать. Следовательно, существует вероятность, что в последующем  .

При условии   соотношения (5.47) могут быть отображены следующим образом:

(5.55)

 

В случае, если не существует границ по длине очереди, то все заявки системы должны быть обслужены, тогда 

Определим среднее количество очередных заявок с помощью (5.51) при условии, что  :

 

 

Среднее число заявок в системе в соответствии с формулой (5.52) при условии, что 

 

 

Найти среднее время ожидания  посредством применения формулы (5.53) при условии  :

 

 

Среднее время пребывания заявки в СМО — это:

 

Билет № 9