4.10. Минимизация чувствительности [19]

Лишние степени свободы, возникающие при превышении числа варьируемых параметров элементов над минимально не­обходимым числом таких параметров, можно использовать для оптимизации самих критериев. Очень полезным критерием яв­ляется чувствительность характеристик схемы к изменениям па­раметров элементов. Следуя рассуждениям предыдущего раз­дела, будем осуществлять оптимизацию в s-плоскости, так что речь пойдет о чувствительности собственных частот схемы.

Изменение положения полюса определяется как

(4-127)

где Sk находится из

(4.128)

причем S_k — простой корень. Таким образом, согласно (4.127), чувствительность есть изменение S_k, поделенное на относитель­ное изменение у_j. Поэтому чувствительность является комплекс­ным числом. Как уже говорилось ранее, полиномы, входящие в схемную функцию, являются линейными функциями от каждого элемента, т. е. мы можем написать следующее выражение:

D(s) = D₁(s) + y_jD₂(s). (4.129)

Теперь можно показать (предоставляем это читателю в качестве упражнения), что

(4.130)

Если схема обладает одним главным корнем, тогда можно минимизировать α_ik, β_ik или ( ). Минимизация α_ik делает схему более устойчивой, минимизация β_ik повышает стабиль­ность частоты, минимизация обеспечивает общее умень­шение чувствительности схемы. Мы будем заниматься миними­зацией .

Пусть необходимо получить заданное снижение чувствитель­ности, т. е. = а⁰. Положим

f_i = α_jk — а⁰ (4.131)

тогда f_i — 0 является решением поставленной задачи. Или же уравнение (4.131) можно присоединить к уравнениям метода подбора коэффициентов при условии, что частные производные вычисляются так, как это изложено ниже.

Так как в общем случае D(s) может иметь как главные, так и неглавные корни, то, как и в подразд. 4.8.3, можно написать

D(s) = (b₀ + b_ls+ ... + b_ms^m) (a₀ + a₁s+ ... + a_nsⁿ), (4.132)

D (s) = В(s) A(s), (4.133)

причем корни полинома A(s)—главные. Пусть s_k — главный корень, тогда

D(s) = B(s)A₀(s)(s-s_k). (4.134)

Обозначим

D₀(s) = B(s) A₀(s). (4.135)

Знаменателем является

(4.136)

Дальнейшие выкладки основываются на том, что исходная и конечная схемы имеют одни и те же главные полюса и, значит, один и тот же полином A₀(s_k). Поэтому можно считать A₀(s_k) константой, a D₀(S_k) — функцией только b_i.

Анализируя числитель полинома D₂(s_k), мы видим, что его коэффициенты тоже линейно зависят от значений параметров элементов схемы.

Теперь нетрудно вычислить частные производные _i/ y_m и

(4.137)

(4.138)

Так как D₂(S_k) тоже линейно зависит от у_т, то получение част­ных производных не составляет особого труда.

(4.139)

(4.140)

(4.141)

Пример 4.10

Желательно уменьшить на 20% чувствительность для схемы фиг. 4.13:

Элементы C₁,R₂, Г — переменные; их начальные значения 0,8012; 49,7 и 1,0 соответственно (см. табл. 4.12).

Имея в виду, что полином в знаменателе содержит корень

, его можно записать таким образом:

, (4.143)

(4.144)

или же

(4.145)

Отсюда

(4.146)

В этом случае, поскольку ни g_m, ни С_с не являются переменны­ми, частные производные равны

(4.147)

Далее

(4.148)

И

Последующие итерации отражены в табл. 4.14.

Таблица 4.14

Последовательные итерации в примере 4.10

Номер итерации	С1	L1	R2
0	0,8012	1,0000	49,70
1	1,3090	0,6747	22,63
2	1,2389	0,6961	26,30
3	1,2377	0,6961	26,61

Пример 4.11

Схема активного полосового фильтра на фиг. 4.17 отли­чается тем свойством, что все проводимости имеют одинаковый температурный коэффициент, а все β имеют в три раза больший температурный коэффициент. Желательно сделать главный ко­рень нечувствительным к изменениям всех β и проводимостей.

30.6

(54)

Фиг. 4.17. Схема активного фильтра. В скобках указаны значения парамет­ров элементов после минимизации чувствительности.

Фиг. 4.18. Влияние минимизации чувствительности на частотную характери­стику.

А — исходная схема (Q = 19,7); Б — схема с минимизированной чувстви­тельностью после изменения проводимостей на 5% и β на 15% по сравнению с расчетными (Q == 28,4); В—схема с минимизированной чувствительностью при расчетных значениях элементов (Q — 30,6).

Легко показать, что в любой схеме сумма чувствительностей всех проводимостей для одного и того же корня равна самому корню. В данной схеме, имеющей главный корень s₁ = —0,0081 + j0,5,

Так как β изменяются с температурой в три раза быстрее про­водимостей, то, учитывая противоположный знак этого изме­нения,

Но так как ,

,

То

На фиг. 4.17 указаны начальные и конечные (в скобках) значе­ния параметров элементов. Вычисления заняли 2,5 мин. Гра­фики, показывающие влияние одновременного изменения всех β и проводимостей, приведены на фиг. 4.18.