Римская система счисления
Со второй половины XIII века в Европе получила распространение позиционная система счисления на основе арабских цифр, родиной которой считается Индия. Конкретное знатнее числа в позиционной системе счисления определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из них в числе.
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
an*Rn+an-1*Rn-1+…+a1*R1+a0*R0
Поскольку это число является полиномом от n, его иногда называется полиноминальным числом. Десятичная и двоичная системы имеют соответственно фиксированные основания 10 и 2. Дробные величины могут быть представлены в системах с фиксированным основанием таким же образом. Так, любое число представляется в виде
Системы счисления с основанием 10, 2, 8, 16
То что числа представляются в виде степеней 10, не вызвано никакими особыми причинами. Очевидно, это связано с тем, что в качестве счетного прибора использовались пальцы рук. Однако существуют народы, использующие системы счисления с другими основаниями.
В системах счисления с основанием меньше 10 используются арабские цифры, в системах счисления с основанием больше 10 в качестве дополнительных цифр используются буквы латинского алфавита.
Правило
Преобразование чисел из систем счисления с различными основаниями в общем случае производится по следующему правилу: число в одной системе счисления делится по модулю на основание другой системы счисления. Результат дает последнюю цифру в новой системе счисления.Промежуточное частное опять делится на основание системы счисления и дает вторую цифру, предпоследнюю. И так до исчерпания промежуточных частных. деление по модулю происходит по правилам арифметики первоначального числа.
Форматы представления чисел с плавающей точкой
Для представления чисел очень больших и очень маленьких используется формат чисел с плавающей точкой. Вещественное число представляется в нормализованном виде, то есть в виде дроби от 0,1 до 1, умноженной на 10 в соответствующей степени.
Двоичная арифметика
Арифметические операции в любой системе счисления выполняются по тем же правилам и алгоритмам, что и в десятичной системе счисления. Необходимо только помнить, что единица переноса в старший разряд в операции сложения возникает тогда, когда сумма двух предыдущих цифр оказывается больше или равной основанию системы счисления. По тем же правилам происходит заем в старшем разряде при операции вычитания.
Так как вычислительные машины работают в двоичной системе счисления из-за удобства технической реализации элементов памяти, имеющих два устойчивых состояния, то в дальнейшем мы будем рассматривать вопрос о представлении различного рода информации именно в этой системе.
Бит – двоичный знак, один из двух знаков, 0 или 1, используется в вычислительной технике для внутримашинного представления чисел или другой информации. В теории информации бит обозначает количество информации, необходимое для различения двух равновероятных событий.
Десятеричная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
Двоичная |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
10 |
3 |
3 |
3 |
11 |
4 |
4 |
4 |
100 |
5 |
5 |
5 |
101 |
6 |
6 |
6 |
110 |
7 |
7 |
7 |
111 |
8 |
10 |
8 |
1000 |
9 |
11 |
9 |
1001 |
10 |
12 |
A |
1010 |
11 |
13 |
B |
1011 |
12 |
14 |
C |
1100 |
13 |
15 |
D |
1101 |
14 |
16 |
E |
1111 |
15 |
17 |
F |
10000 |
16 |
20 |
10 |
10001 |
17 |
21 |
11 |
10010 |
18 |
22 |
12 |
10011 |
19 |
23 |
13 |
10100 |
Предложенная двоичная запись целого числа не отражает двух важных обстоятельств:
Целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными, и машинные операции над ними должны правильно передавать алгебраическую природу целого числа.
Не положено никаких ограничений на длину цепочки двоичных разрядов. Это означает, что не предполагалось никаких ограничений на диапазон представленных чисел, и нет оснований говорить о том, что результат выполнения какой-либо операции может оказаться недопустимо большим для его размещения в памяти ЭВМ.
В действительности для представления всякого элемента данных и, в частности, целого числа, в памяти ЭВМ всегда отводится лишь конечное количество разрядов, поэтому с точки зрения организации памяти и архитектуры процессора имеет смысл говорить не только о записи чисел в виде последовательностей нулей и единиц, но и о реальных машинных форматах, связывая с ними то количество двоичных разрядов, которое может быть использовано для размещения числа. Эти форматы, как правило, связаны с разрядность регистров центрального процессора и его арифметико-логического устройства (АЛУ).
АЛУ – узел процессора, непосредственно выполняющий операции над цепочками разрядов.
Регистр – внутренний элемент памяти процессора. Исторически сложились три различных формата для представления целых чисел – байт (8 бит), слово (16 бит) и двойное слово (32 бита).