Решение
Число информационных разрядов кода k=4, значит число строк порождающей матрицы G должно быть равным 4. Число столбцов матрицы G равно длине кода, который равен сумме чисел корректирующих и информационных разрядов.
Для расчетов контрольных разрядов с минимальным кодовым расстоянием dmin= 2 воспользуемся следующими выражениями: каждая строка приписанной части единичной матрицы должна содержать dmin-1 единиц, а сумма по модулю 2 не менее dmin-2. Следовательно, число столбцов, содержащих контрольные разряды должно быть равно 1, а общее число столбцов матрицы G равно 5.
Построим порождающую матрицу G:
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
G = a1 a2 a3 a4 a5
Правила формирования проверочных элементов для полученного кода:
a5 = а1 а2 а3 а4;
Проверочная матрица задает правила кодирования линейного кода и определяет схему кодирующего устройства:
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
H = a1 a2 a3 a4 a5
Определим, сколько ошибок данный код может обнаружить:
dmin= r + 1 r = dmin – 1 = 2 –1 =1 , т.е. число обнаруживаемых ошибок равно 1.
Для определения количества исправляемых ошибок применим формулу:
dmin=
2tи
+
1
tи
=
tи = 0,5 => код не может исправлять ошибки.
Рисунок 3 – Схема кодирующего устройства
Рисунок 4 – Схема декодирующего устройства
Таблица соответствия между местоположением одиночных ошибок и видом синдрома:
|
а1 |
а2 |
а3 |
а4 |
а5 |
b1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
b2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
b3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
b4 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3.6 Код построен по матрице
.
Определить, какие из приведенных кодовых комбинаций линейного кода содержат ошибку (табл. 8).
Таблица 8
Вариант |
|
|
г) |
0010110 |
0110101 |
Найдем правила получения проверочных элементов:
а5 = а1 а3 а4 b1 = a1 a3 a4 a5
а6 = а1 а2 а3 b2 = a1 a2 a3 a6
а7 = а1 а2 а4 b3 = a1 a2 a4 a7
Кодовая комбинация а1=0010110
b1 =0 1 0 1 = 0
b2 =0 0 1 1 = 0
b3 =0 0 0 0 = 0
Синдром равен нулю, ошибок нет.
Кодовая комбинация а2=0110101
b1 = 0 1 0 1 = 0
b2 = 0 1 1 0 = 0
b3 = 0 1 0 1 = 0
Синдром равен нулю, ошибок нет.