7 Тақырып. -ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясы

Дәрістің мақсаты:

- негізгі анықтымаларды еңгізу

- біртекті және біртексіз сызықты теңдеулердің қасиеттерін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар тізімі:

1. Сызықты теңдеулердің жалпы қасиеттері

2. Біртекті сызықты теңдеулер

3. Біртексіз сызықты теңдеулер

1. Сызықты теңдеулердің жалпы қасиеттері

- ші ретті сызықты дифференциалды теңдеулер деп мына түрдегі теңдеулерді атаймыз

(1.1)

мұндағы функциялар интервалында үзіліссіз, .

(1) теңдеуді бөлгенде және белгілеп, канондық түрдегі -ші ретті сызықты дифференциалды теңдеуді аламыз:

(1.2)

Егер болғанда , ендеше (1.2) біртексіз сызықты теңдеу деп аталады. Егер болғанда , ендеше (1.2) біртекті сызықты теңдеу деп аталады. Бұл жағдайда теңдеу

(1.2) біртексіз теңдеуге сәйкес келетін біртекті сызықты теңдеу деп аталады. Біртекті сызықты теңдеудің әрқашанда мардымсыз шешім деп аталатын шешімі бар болады.

(1.2) теңдікті бұл түрде көшірген кезде

(1.3)

бұдан бақағанымыздай және кез келген болғанда функциясы туындылармен үзіліссіз болады, бұдан (1.2) теңдеудің оң бөлігі бар болу және жалғыздық туралы теореманы қанағанаттандыратындығын көруге болады.

2. Сызықты біртекті теңдеулер

-ші ретті сызықты біртекті теңдеулер бұл түрде беріледі:

(2.1)

мұндағы функциясы үзіліссіз . Бұл теңдеулердің шешімдерінің негізгіқасиеттерін келтірейік.

1. Егер - (2.1) теңдеудің шешімі болса,онда болғанда сызықты коминация (2.1) теңдеудің шешімі болады.

2. Егер (2.1) сызықты біртекті теңдеуі нақты коэффициенттермен комплекстік шешімі бар болса, онда , функциялар (2.1) теңдеудің шешімі болады.

болатындай тұрақтылар бар болып, келесі теңдік орындалса:

, (2.2)

функциялар аралығында сызықты тәуелді деп аталады.

Егер болғанда ғана (2.2) темпе-теңдік орындалса, функциялар -да сызықты тәуелсіз деп аталады. Системаның фундаментальді шешімі нормальді болады, егер

………………………………..

мұндағы орындалса. Берілген (2.1) сызықты біртекті теңдеудің жалпы шешімі түрінде анықталады, мұндағы - кез келген тұрақты, а - (2.1) теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады.

Егер - (2.1) теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі болса, бастапқы шарттарын қанағаттандыратын (2.1) Коши есебінің шешімі мына түрде болады:

.

Сызықты тәуелді және тәуелсіз функциялардың шарттары

1. аралығында өзінің - ші ретті туындыларға дейін үзіліссіз функциялары аралығында сызықты тәуелсіз болуы үшін , Вронскиан анықтауышы аралығында нөлден айырықша болуы қажетті және жеткілікті, яғни

.

2. Егер функциялардың -да сызықты тәуелді болса; онда

,

Вронскиан үшін шешімдері бар (2.1) сызықты біртекті теңдеудің Лиувиль-Остроградскийдің формуласы орын алады.

.

Лиувиль-Остроградскийдің формуласынан келесі шарттар шығады

4. -ші ретті сызықты біртекті теңдеулер сызықты тәуелсіз болу үшін вронскиан ең болмағанда бір нүктеде нольге айналмауы қажетті және жеткілікті.