3. Ретті төмендетілетін жоғарғы ретті теңдеулердің кейбір түрлері.
а) Ізделінетін функция және бірнеше туындылар тізбектері жоқ теңдеулер.
Бұл түрдегі теңдеуді қарастырамыз:
. (27)
алмастыру
көмегімен, мұндағы
- белгісіз жаңа функция, (27) теңдеуі
-
ші ретті теңдеуге келтіріледі:
.
(28)
айнымалыға оралғанда (28) теңдеуі квадратураларда интегралдасын, (27) аралық интегралын аламыз:
,
немесе
. (29)
(29) теңдеуі (11) түрдегі теңдеуі болады.
б) Құрамында айқын түрде тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеу.
. (30)
мынадай түрдегі теңдеудегі қарастырамыз.
,
(31)
ауыстыру арқылы.
(мұндағы
- жаңа ізделінді функция,
–
жаңа тәуелсіз айнымалы) (30) теңдеудің
реті бірлікке төмендейді
,
,
…………………………………. (32)
.
болғандықтан.
(31), (32)
алмастыруларын (30) теңдеуіне қойғанда
жаңа
белгісіз
функцияға қатысты
-
ші ретті теңдеуге келеміз:
,
(33)
Егер (33) жалпы интегралы белгілі болса:
бұдан
,
(34)
(30)
теңдеуінің аралық интегралы болады.
(34)
теңдеуінің жалпы интегралы
,
мұндағы
- кез
келген тұрақтылар, болады
в) айнымалыларына қарасты біртекті теңдеу
,
(35)
түрдегі теңдеуді қарастырамыз
мұндағы
функциясы
біртектілік көрсеткішпен
айнымалыларына қарасты біртекті болады
, егер
болса.
,
(31)
алмастыру арқылы
мұндағы - жаңа белгісіз функция , (35) теңдеуінің реті бірлікке төмендейді.
,
………………… (37)
.
болады
(35) – ке (37) қойғанда
,
(38)
аламыз.
(38)
теңдеуін
- ке қысқартқан кезде
функциясына қарасты
-
ші ретті дифференциалды теңдеуді аламыз:
,
(39)
Егер
(39) теңдеудің
жалпы шешімі белгілі болса, онда (36) –
дан (35) алғашқы теңдеудің жалпы шешімі
мына түрде болады:
(40)
мұндағы
- кез келген тұрақтылар.
болғанда
шешімі (40) теңдеуінен алынады.
г) Жалпыланған – біртекті теңдеулер.
, (41)
түрдегі теңдеуді қарастырайық.
(41)
теңдеуі жалпыланған
– біртекті деп
аталады, егер
және
сандар бар болып,
орындалса.
(
болғанда
деп тұжырымдаймыз) келесі алмастыру
арқылы
,
(42)
мұндағы
–
жаңа тәуелсіз айнымалы,
- жаңа ізделінді функция, (41) теңдеуінің
ретті бірлікке төмендейтін және
тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеуге
келтіріледі.
Туындылар (42) алмастыру бойынша мына формулалардан анықталады:
,
,
……………………………………. (43)
(41) теңдеуге (42), (43) теңдіктерін қойғанда құрамында тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеуді аламыз.
Әдебиеттер: 9, б. 58-62; 3, б. 157-185.
Бақылау сұрақтар және тапсырмалар:
1. Нормальді түрдегі -ші ретті дифференциалды теңдеу үшін Коши есебі қалай қойылады?
2. Пикар теоремасын құрыңыздар.
3. -ші ретті теңдеудің жалпы интегралы қандай түрде болады?
4. теңдеудің дербес шешімі қандай?
5.
теңдеудің жалпы шешімі қалай табылады?
6. Құрамында ізделетін функция болмайтын теңдеудің реті қалай төмендейді?
7. Құрамында тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеудің реті қалай төмендейді?
8.
қарасты біртекті теңдеудің реті қалай
төмендейді?
9. Жалпыланған – біртекті теңдеудің реті қалай төмендейді?