Тақырып 6. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясы
Дәрістің мақсаты:
- негізгі анықтамалар мен түсініктерді еңгізу
- жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді шешу әдісін қарастыру
Қарастырылатын сұрақтар тізімі:
1. Негізгі түсініктер мен анықтамалар
2. Квадратураларда шешілетін жоғарғы ретті теңдеулердің түрлері
3. Реті төмендетілетін жоғарғы ретті теңдеулердің түрлері
1. Жалпы түсініктер мен анықтамалар
,
(1)
- тәуелсіз
айнымалы,
-
ізделенген функция,
қандайда бір облыста
функциясы анықталған және үзіліссіз,
- тен тәуелді,
-
ші ретті кәдімгі
дифференциалды теңдеу
деп аталады.
-ші ретті туындыға қарасты шешілген дифференциалдық теңдеудің түрі:
,
(2)
мұндағы
функциясы
облысында үзіліссіз.
интервалда
(2) теңдеуінің шешімі деп келесі шарттарды
қанағаттандыратын
функциясын айтамыз :
1)
-
де
функциясы
рет үзіліссіз дифференциалданады ;
2)
;
3) функциясы, (2)-ні темпе – теңдікке айналдырады, яғни
.
(1) теңдеуінің шығарылуы аналогиялық түрде анықталады.
Коши есебі (немесе бастапқы есеп) бастапқы шартты қанағанаттандыратын
(3)
(2) теңдеуінің шешімін табу есебін айтамыз.
Коши
– Пикара теоремасы. Егер
функциясы
облысында үзіліссіз және
айнымалылары
бойынша,
Липшиц шарттарын қанағаттандырса,
онда
кез – келген нүктесі үшін (2) теңдеуінің
нүктесінің аймағында анықталған және
(3) шарттын қанағаттандыратынтеңдеуінің
жалғыз шешімі бар болады
, (4)
функциясы,
мұндағы
-
кез-келген тұрақтылар
облысында (2) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер:
1)
функциясының
бойынша
-ші
ретті үзіліссіз дербес туындылары бар
болса ;
2)
кез-келген нүкте үшін келесі жүйе:
…………………….
қатысты
жалғыз түрде шешіледі:
,
,
(5)
……………………….
;
3)
нүктесі
облысынан алынғанда
функциясы
(5) теңдіктеріндегі кез
келген
тұрақтылар
үшін (2)
теңдеудің
шешімі болады.
Теорема
(Коши
есебінің шешімінің бар болу және
жалғыздығы туралы теорема).
облысында
функциясы
үзіліссіз және
бойынша үзіліссіз дербес туындылары
бар болсын, онда
,
,
болатындай кез келген
нүктесі үшін
нүктенің
аймағында анықталатын және
(3) шарттарын қанағанаттанатын (1) теңдеуінің жалғыз шешімі бар болады.
2. Квадратураларда шешілетін жоғарғы ретті теңдеулердің түрлері
а)
,
(11)
(11)
теңсіздігі
көп
жағдайда параметрлік түрде өрнектелуі
мүмкін:
,
мұндағы
- дифференциалданатын
функция. Бұл
жағдайда параметрлік түрдегі жалпы
интегралды табамыз.
,
,
,бұдан
.
Аналогия
бойынша
табамыз
және т.б.
үшін
түріндегі теңдікті аламыз. Сондықтан
жүйесі (11) теңдеуінің параметрлік түрдегі
жалпы интегралы деп аталады. (11) теңдеуінің
дербес жағдайы:
,
(12)
мұндағы
функциясы
аралығында үзіліссіз.
Егер
параметр деп қарастырылса, онда (12)
теңдеуінің жалпы шешімі келесі :
.
(12) теңдеуінің Коши түрінде жалпы шешімнің түрі:
,
мұндағы
,
-
кез келген сандар.
б) Теңдеудің түрі
,
(13)
Егер (13) тен
,
(14)
ендеше,
жаңа функция еңгізгенде:
,
(15)
(15) жалпы интегралдың түрі
,
(16)
(16)- ты
-ға
қарағанда шешілсін:
.
(17)
(17) ескере отырып, (13) тен жалпы шешімді келесі түрде аламыз:
(17) – теңдеуі (12) теңдеуімен типтес, сондықтан (13) теңдеуінін жалпы шешімі келесі түрде анықталады:
Егер
(13) теңдеуінің
параметрлік түрі
,мұндағы
- дифференциалданатын
функция
болса, онда
(13) теңдеуін интегралдау келесі жолмен
орындалады:
теңдігінен
аламыз,
бұдан
,
(18)
бұдан
,
,
,
,
(19)
(18), (19) жиынтығы параметрлік түрде (13) теңдеуінің жалпы интегралын анықталады:
в) теңдеудің түрі
,
(20)
,
(21)
ауыстыру көмегімен
(20) теңдеуі екінші ретті теңдеуге келтіріледі
,
(22)
(22)
теңдеуі
қарасты шешіледі деп қарастырамыз:
,
(23)
(23)
теңдеудің
интегралдық көбейткішіне көбейтіндісі
келесі теңдеуге әкеледі
,
(24)
(24) теңдеуден (23) теңдеудің бірінші интегралын аламыз:
,
(25)
бұдан (25) – тен :
,
(23) теңдеудің жалпы интегралын табамыз;
,
(26)
(21) алмастыруды ескере отырып, (26) теңдеуден (20) түрдегі аралық интеграл теңдеуін аламыз:
,
яғни
(11) түріндегі квадратураларда
интегралданатын
-
ші ретті дифференциалды теңдеу.
Егер
(20) теңдеуі
,
параметрлік түрде берілсе, ендеше (20)
теңдеуді интегралдау үрдісі келесі
түрде болады.
,
арақатынастан
қарасты келесі теңдеу аламыз
,
осыдан
.
Бұдан,
үшін
,
түрдегі
параметрлік өрнектелуі болады
, яғни есебіміз (13) түрдегі теңдеуді
интегралдауға келтірілді.