2.Интегралдық көбейткіш

(1)

теңдеуі үшін функциясы интегралдық көбейткіш деп, (1) теңдеуіне көбейткеннен кейін теңдеу толық дифференциалға айналғандағы көбейткішті атайды

Егер –(1) теңдеуінің интегралдық көбейткіші болса, онда теңдеуі толық дифференциал болады.

яғни интегралдық көбейткіш

(2)

теңдеудің шешімі.

Кейбір дербес жағдайларда (2) теңдеуі ықшамдалады және (1) теңдеуі үшін интегралдық көбейткішті табу оңай.Бірнеше жағдайларды қарастырайық.

1. Егер (1) теңдеуі х-ке, яғни теңдеуіне ғана тәуелді интегралдық көбейткіші болса , онда (2) теңдеуден мынаны аламыз:

2. Егер (1) теңдеуі у-ке, яғни теңдеуіне ғана тәуелді интегралдық көбейткіші болса , онда (2) теңдеуден мынаны аламыз:

3.Егер (1) теңдеуі (мұндағы - белгілі функция )түріндегі теңдеудің интегралданатын көбейткіші болса , онда:

(3)

Әдебиет: 4,б.13-14; 5, б. 30-35; 9, б. 21-24; 3, б. 106-118.

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай шарттар орындалғанды дифференциалдық теңдеу теңдеудің толық дифференциалы болады?

2. Қандай функцияны дифференциалдық теңдеудің интегралдық көбейткіш деп атайды?

3. Толық дифференциалдық теңдеу қалай интегриралданады?

4. Толық дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебі қалай шешіледі?

5. Интегралдық көбейткіш әдісі неден тұрады?

6. Қай жағдайда дифференциалдық теңдеу - ке ғана тәуелді интегралдық көбейткіші бар болады?

7. Қай жағдайда дифференциалдық теңдеу - ке ғана тәуелді интегралдық көбейткіші бар болады?

8. Қай жағдайда дифференциалдық теңдеу ғана тәуелді интегралдық көбейткіші бар болады?

9. Қай жағдайда дифференциалдық теңдеу - ке ғана тәуелді интегралдық көбейткіші бар болады?

10. Қай жағдайда дифференциалдық теңдеу ғана тәуелді интегралдық көбейткіші бар болады?

5 Тақырып. Туындыға қарасты шешілмеген дифференциалдық теңдеулер

Дәріс мақсаты:

- туындыға қарасты шешілмеген дифференциалдық теңдеулердің жалпы түсінігі және оларды интегралдау әдістерін қарастыру

Қарастырылатын сұрақтар тізімі:

1. Туындыға қарасты шешілмеген дифференциалдық теңдеулерді интегралдау

2. Лагранжа және Клеро теңдеулері

1. Туындыға қарасты шешілмеген дифференциалдық теңдеулер

(1)

(2) - жалпы түрі . Мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у – ізделінді функция, ал

(1)және (2 ) теңдеудің дербес жағдайы.

Анықтама:Қіндай да бір І аралағында анықталмаған және дифференциалданатын функциясы мына екі шартты :

1) - анықталу облысы болса;

2) Ғ қанағаттандырса, онда ол (2) теңдеудің І аралағындағы шешімі деп аталады. (2) теңдеудің шешімін табу процесі оны интегралдау деп аталады (1) теңдеудің шешімі көбінеесе айқындалмаған немесе параметрлік түрде беріледі. Оны түрінде көрсетеді.

Шешімді параметрлі түрде табу үшін жаңа айнымалы – параметр енгізу керек .

І аралағында анықталған және үзіліссіз дифференциалданатын , (2) теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын түрінде көрсетеді. Шешімді параметр түрінде көрсету үшін жаңа айнымалы – параметр енгізу керек.

І аралағында анықталған және дифференциалданатын (2) теңдеуді тепе-теңдікке айналатын параметрлі функциясын (2) теңдеудің параметрлі түрдегі шешімі деп аталады.

Сонымен (2) теңдеудің шешімін мына 3 түрдің , , біреуі арқылы өрнектеуге болады. Бұлардың әрқайсысына жазықтығында сызық сәйкес келеді .Оны интегралдық қисық деп атайды.

(2) теңдеу үшін Коши есебі (1) теңдеуге қойылғандай беріледі. (2) теңдеудің барлық шешімінің ішінен болғанда бастапқы мәнін қабылдайтын, яғни шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек.

1. Екі айнымалысы бірдей айқын кірмеген теңдеу Оның жалпы интегралы

2. айнымалысы айқын кірмейтін теңдеу арқылы шешілмесе, онда

3. х айнымалысы бойынша шешілмеген теңдеу шешімін табу үшін параметрін енгіземіз. Сонда жалпы интегралын аламыз.

1мысал. .

Оны мынадай түде жазайық = деп, параметр енгіземіз

Сонымен,