Бірінші ретті сызықтық теңдеулер
Егер
берілген дифференциалдық теңдеуде
ізделінді функция
және оның туындысы
бірінші дәрежеде енсе, онда мұндай
дифференциалдық теңдеуді бірінші
ретті сызықтық теңдеу
деп атайды. Оның жалпы түрі мынадай:
(1)
Мұндағы
функциясы (1) теңдеудің оң жағы деп
аталады . Егер
болса,
онда (1) теңдеу біртекті деп, ал
болса,
онда біртекті емес деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімін табу үшін екі әдіс қолданылады. Олар: кез келген тұрақтыны варияциялау және ауыстыру әдісі.
Кез келген тұрақтыны варияциялау әдісі.
Берілген біртекті емес (1) теңдеуді шешудің орнына оған сәйкес біртекті теңдеуді шешеміз:
(2)
Бұл – айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Оның жалпы шешімін тапсақ
(3)
(3)
теңдікпен анықталған у функциясы
біртекті емес (1) теңдеудің шешімі бола
алмайды, өйткені оны осы теңдеуге апарып
қойсақ, теңдіктің сол жағы 0-ге тең болар
еді де , ал оның оң жағы 0-ден өзгеше
функциясы
қалып қояр еді. Енді (3) теңдіктегі С
тұрақтысын х- ке тәуелді деп қарап , оны
теңдіктің
шешімі болатындай етіп таңдап аламыз
, екінші сөзбен айтқанда тұрақтыны
варияциялаймыз. Сөйтіп , (3) теңдігінен
туынды алып, оны (1) теңдеуге апарып
қойсақ:
Бұдан :
(4)
Сөйтіп,
функциясы қойып отырған талабымызға
орай табылды. Міне, осыларды ескеріп,
берілген бірінші ретті дифференциалдық
сызықты теңдеудің жалпы шешімі табылды:
Әдебиет: 4,б.14-17; 5, б.25-29; 9, б.24-28; 4, б.67-90.
Бақылау сұрақтары мен тапсырмалар:
1. Қандай теңдеулер біртекті деп аталады? Қандай түзулер осы теңдеудің изоклиналары болып табылады?
2. Қандай алмастыру арқылы біртекті теңдеуді айнымалылары ажыратылған теңдеулерге келтіреді?
3. Неліктен
координаталар басы
теңдеінің ерекше нүктесі болады?
4. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі қандай?
5. Біртексіз сызықтық теңдеу біртектіден айрмашылығы қандай?
6.
біртекті сызықтық теңдеуі қалай
интегралданады?
7. Біртексіз сызықтық теңдеуді варияциялау әдістің мәні неде (Лагранж әдісі) ?
8. Қандай теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады?
9. Бернулли теңдеуі қалай интегралданады?
4 Тақырып. Толық дифференциалдық теңдеулер
Дәріс мақсаты:
- толық дифференцилдық теңдеулерге анықтама беру және және интегралдық көбейткіштерді табу;
- толық дифференцилдық теңдеулерді шығару әдістерін қарастыру
Қарастырылатын сұрақтар тізімі:
Толық дифференциалдық теңдеулер
Интегралдық көбейткіш
1. Толық дифференциалдық теңдеулер
Егер
(1)
теңдеуінің
сол жағы
функциясының
толық дифференциалы болса, , яғни:
теңдігі орындалса, онда (1) теңдеуді толық дифференциалдық теңдеу деп атайды. Мұндай жағдайда (1) теңдеуді былай жазуға болады
Бұл теңдеуді интегралдасақ:
Сөйтіп,
толық дифференциалдағы теңдеу оңай
шешіледі. Олай болса, толық дифференциалдағы
теңдеу берілгенде
функциясын қалай табу керек?Бұл сұраққа
мына теореме жауап береді.
Теорема: Дифференциалдық
(2)
өрнегіндегі
және
функциялары өздерінің анықталу облысында
үздіксіз болса, олардың дербес үздіксіз
(3)
теңдеунің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Қажеттілігін дәлелдейік. Айталық
теңдігі орындалатындай функциясы табылсын . Сөйтіп, кез келген х пен у мәндерінде орындлатын мынадай тепе – теңдік пайда болды:
,
алындағы
коэффициенттерді теңестіреміз:
.
Бұл
теңдіктердің біріншісін у
бойынша, екіншісін х
бойынша дифференциалдайық.
Ал,
теңдігі орындалатындықтан
Бұл
дәлелдегелі отырған (3) теңдік.
Теореманың жеткіліктігін дәлелдеуін жалпын жүргізбей-ақ (3) теңдік орындалғанда функциясын қалай табатындағына мысал келтірелік:
Мысал:
Теңдеудің
сол жағы
функциясының толық дифференциалы.Себебі:
Содан:
Теңдеудің жалпы интегралы мынаған тең:
